拓撲/梳形空間

拓撲
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一個梳形空間是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的子空間，看起來很像一把梳子。梳形空間滿足一些相當有趣的性質，並提供了有趣的反例。拓撲學家正弦曲線與梳形空間具有相似的性質。刪除梳形空間是梳形空間的一個重要變體。

形式化定義

考慮 $\mathbb {R} ^{2}$ ，它具有標準拓撲，並令K為集合 $\{1/n|n\in \mathbb {N} \}$ 。由以下定義的集合C

(\{0\}\times [0,1])\cup (K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})

被認為是 $\mathbb {R} ^{2}$ 的子空間，並配備子空間拓撲，被稱為梳形空間。刪除梳形空間，D，定義為

(\{0\}\times \{0,1\})\cup (K\times [0,1])\cup ([0,1]\times \{0\})

它只是刪除了線段 $\{0\}\times (0,1)$ 的梳形空間。

拓撲性質

梳形空間和刪除梳形空間滿足一些有趣的拓撲性質，這些性質主要與區域性連通性的概念相關（參見下一章）。

1. 我們注意到梳形空間顯然是路徑連通的，因此是連通的。此外，如果我們從梳形空間中刪除集合(0 X [0,1])，我們得到一個新的集合，它的閉包是梳形空間。由於這個“新集合”是連通的，並且刪除的梳形空間，D，是這個“新集合”的超集，也是這個新集合的閉包的子集，因此刪除的梳形空間也是連通的。

2. 然而，刪除的梳形空間不是路徑連通的，因為從(0,1)到(0,0)沒有路徑。

3. 梳形空間是路徑連通空間的一個例子，它不是區域性路徑連通的；參見有關區域性連通空間的頁面（下一章）。

4. 讓我們證明我們關於 2 的說法。假設從p = (0, 1) 到D中的一個點q有一條路徑，q ≠ p。令ƒ:[0, 1] → D為這條路徑。我們將證明ƒ⁻¹{p} 在 [0, 1] 中既是開集又是閉集，這與該集合的連通性相矛盾。顯然我們有ƒ⁻¹{p} 是 [0, 1] 中的閉集，因為ƒ是連續的。為了證明ƒ⁻¹{p} 是開集，我們進行如下操作：選擇一個關於p的鄰域 V（在 $\mathbb {R} ^{2}$ 中是開的），它不與x軸相交。那麼存在一個包含ƒ⁻¹{p} 的基元U，使得ƒ(U) 是V的子集。我們知道 U 是連通的，因為它是在 [a, b] 上的序拓撲的基元。因此，ƒ(U) 是連通的。我們斷言ƒ(U) = {p}，因此ƒ⁻¹{p} 是開集。假設ƒ(U) 包含一個點 (1/n, z)，它不同於p。那麼 (1/n, z) 必須屬於D。選擇r，使得 1/(n + 1) < r < 1/n。由於ƒ(U) 不與x軸相交，所以集合

A = (−∞, r) ×

\mathbb {R}

B = (r, +∞) ×

\mathbb {R}

將在 f(U) 上形成一個分離，這與 f(U) 的連通性相矛盾。因此，f⁻¹{p} 在 [0, 1] 中既是開集又是閉集。這是一個矛盾。

讀者須知

在學習下一節後立即嘗試解答問題 2.c)、2.d) 和 3。

練習

1. a)* 證明梳狀空間是緊緻的，不使用 Heine-Borel 定理。

b) 因此，證明集合 K = {1/n | n 是自然數} U {0} 是緊緻的（提示：證明如果 X X Y 是一個乘積空間，而 Y 是緊緻的，那麼對第一個座標的投影是一個閉對映（即，將 X X Y 中的閉集對映到 X 中的閉集）。然後如果 C 是梳狀空間，C 是 I X I（I = [0,1]）的閉子集，給定乘積拓撲。假設 I = [0,1] 是緊緻的，並使用關於緊緻性的一個定理。）

c) 證明刪除的梳狀空間不是緊緻的。

2*. a) 令 A 是 R 的一個連通子集。證明如果 x 屬於 A，y 屬於 A 且 x < y，那麼整個區間 [x,y] 是 A 的一個子集。

b) 證明 R 的一個緊緻子集必然包含它的上確界和下確界（提示：如果 A 是 R 的一個緊緻子集，那麼 A 是閉集。證明 A 的上確界和下確界都屬於 A 的閉包，因此也屬於 A。）

c) 證明 R 中的每個閉區間是區域性連通的。

d) 證明梳狀空間不能嵌入 R 中（提示：假設它可以嵌入 R 中，令 A 是 R 的子集，梳狀空間 C 與之同胚。透過注意到梳狀空間是路徑連通的，因此是連通的，並且 A 必須是緊緻的（因為 C 與 A 同胚，而 C 根據練習 1.a) 是緊緻的），證明 A 必須是一個閉區間。因此，根據練習 2.c)，A 是區域性連通的。）

e) 刪除的梳狀空間可以嵌入 R 中嗎？證明你的答案。

3. a) 證明區域性連通空間的開子空間是區域性連通的。

b) 令 X 區域性同胚於 Y；也就是說，從 X 到 Y 的一個對映 f 滿足以下性質

對於 X 中的每個點 x，存在 x 的一個鄰域 V，它在對映 f 下同胚於 Y 的一個開子集（即，限制在 V 上的對映 f 是同胚的）

證明如果 Y 是區域性連通的，那麼 X 也是（提示：使用 a) 部分）。

c) 令 C 是梳狀空間。證明 C 不是一個流形（一個流形是一個 Hausdorff 拓撲空間 X，它有一個可數的拓撲基，並且在某種整數 n 下區域性同胚於 R^n）。（提示：使用 b) 部分，並注意到 Hausdorff 空間的子空間是 Hausdorff，而具有可數的拓撲基的空間的子空間也具有可數的拓撲基）。

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