拓撲/區域性連通
一個拓撲空間被稱為在x（其中x是該空間的點，被稱為X）處區域性連通，如果對於x的每個鄰域V，都存在一個包含在V中的x的連通鄰域U。如果一個空間在其所有點處都區域性連通，我們稱該空間為區域性連通空間。令人驚訝的是，區域性連通性和連通性是相互獨立的性質；一個空間可以滿足其中一個性質，而無需滿足另一個性質（參見下面的示例）。
1. 如果一個空間具有完全由連通集合組成的基，那麼它就是區域性連通的（要看到這一點，設x為空間中的一個點。那麼對於x的每個鄰域V，都存在一個包含x的基元素B，該基元素是連通的並且包含在V中。那麼B就是V中所期望的包含x的連通鄰域）。
2. 從示例 1 中我們可以得出結論，實數集R是區域性連通的並且是連通的（因為它是一個線性連續統）。
3. 有理數集Q既不是區域性連通的，也不是連通的。R在下限拓撲中也是如此。事實上，一個完全不連通空間不可能是區域性連通的，除非它具有離散拓撲。
4. 有限並集的區間是區域性連通的。換句話說，R中的基本集合（參見測度理論）是區域性連通的。特別是，集合
- A = (-1,0) ∪ (0,1)
是區域性連通的，但不是連通的。
5. 拓撲學家正弦曲線（如果f(x) = sin (1/x)，那麼拓撲學家正弦曲線就是(0,1]在f下的像的閉包），是一個連通空間的例子，它不是區域性連通的。拓撲學家正弦曲線是連通的事實來自
- a) 集合S = f((0,1])是連通的，因為它是一個連通空間在連續對映下的像。
- b) 連通空間的閉包是連通的。
該空間在集合B = [閉包(S)] – S中的任何點處都不是區域性連通的。不過，它在所有其他點處都是區域性連通的。
一個拓撲空間X是區域性路徑連通的，如果對於每個點x，以及x的每個鄰域V，都存在一個包含在V中的x的路徑連通鄰域U。與前面的例子類似，路徑連通性和區域性路徑連通性是相互獨立的性質。我們將給出一些其他的例子。
- 示例
1. 區域性路徑連通空間總是區域性連通的。證明利用了每個路徑連通空間都是連通的事實。
2. 一個路徑連通空間不是區域性路徑連通的例子是梳狀空間：如果K = {1/n |n 是一個自然數}，那麼梳狀空間定義為
- C = (K × [0,1]) ∪ ({0} × [0,1]) ∪ ([0,1] × {0}]
梳狀空間是路徑連通的（這很明顯），但在集合A = {0} × (0,1]中的任何點處都不是區域性路徑連通的。然而，它在所有其他點處都是區域性路徑連通的。
一個拓撲空間在一個點處可以滿足的一個更弱的性質被稱為“弱區域性連通”。
定義
設 X 是一個拓撲空間，x 是 X 中的一個點。如果對於 x 的每個鄰域 V，都存在一個包含 x 的鄰域 U 的 V 的連通子空間 A，則稱該拓撲空間在 x 處是弱區域性連通的。如果該空間在其所有點處都是弱區域性連通的，則簡單地稱該空間為弱區域性連通空間。
我們將給出一些例子，稍後將介紹關於這個概念的一個重要定理。
示例
1. 每個區域性連通空間都是平凡地弱區域性連通的（在定義中令 A = U）。
2. 注意，梳狀空間和拓撲學家正弦曲線都不是弱區域性連通的。很容易看出，這兩個空間在它們不是區域性連通的每個點處都不是弱區域性連通的。
3. 一個完全不連通的空間不可能是弱區域性連通的，除非它具有離散拓撲（換句話說，一個完全不連通的空間是弱區域性連通的當且僅當它具有離散拓撲）。一個例子是 R 在下限拓撲中，它不具有離散拓撲，因此在任何點處都不可能是弱區域性連通的。
4. 我們將在稍後證明，如果一個拓撲空間是弱區域性連通的（即在每個點處都是弱區域性連通的），那麼它在每個點處都是區域性連通的。然而，這個事實的證明需要另一個與區域性連通性相關的概念，這將在下一節中討論。
5. 之前的性質可能看起來很奇怪。如果每個弱區域性連通空間都是區域性連通的，那麼為什麼要稱一個空間為“弱”區域性連通？它似乎不是一個更弱的條件。然而，如果一個空間只在一個點處是弱區域性連通的，那麼它在該點處不一定區域性連通。一個這樣的空間的例子是掃帚空間。為了使該空間在該點處區域性連通，它需要在該點的鄰域中是弱區域性連通的。因此，弱區域性連通空間的定義確實有意義。
在一個拓撲空間X上定義一個等價關係 ~，以便我們宣告 x~y，如果存在一個包含x和y的X的連通子空間A。所有等價類的集合被稱為 X 的連通分支（這確實是一個等價關係，讀者可以驗證）。
定義另一個等價關係 ~2（與第一個不同）以使x~2y，如果從x到y存在一條路徑。等效地，x~2y 當且僅當存在一個包含x和y的X的路徑連通子空間。所有具有此等價關係的等價類的集合被稱為該空間的路徑連通分支（這確實是一個等價關係，讀者可以驗證）。
作為等價類，連通分支是拓撲空間X的不相交、非空子集，它們的並集是 X。路徑連通分支也是如此。
- 性質
1. 直觀地說，連通分支是X中最大的可能的連通子集，而路徑連通分支是X中最大的可能的路徑連通子集。
2. 元件始終是連通的（為了看到這一點，令C為一個元件（包含空間中某個點x的等價類）。那麼C是非空的，因為x~x。對於C中的每個y，令Ay為包含y和x的X的連通子集（因為y~x）。取所有這些Ay的並集，其中y屬於C。這個並集就是C。由於這是具有共同點x的連通空間的並集，因此這個並集是連通的。因此，C是連通的）。類似的論證表明路徑連通分量始終是路徑連通的，因此是連通的。
3. X的每個連通子集都位於X的一個元件中。這證明了性質1。為了看到這一點，令A為連通的（並且非空，否則證明是微不足道的），並且令x屬於A。那麼如果y屬於A，則A是包含y和x的X的連通子集，因此y~x。由於y是任意的，因此我們已經證明A是包含x的元件的子集。類似的證明表明，X的每個路徑連通子集都是X的路徑連通分量的子集。
4. 元件始終是閉集。為了看到這一點，我們注意到，如果C是一個元件，那麼C是連通的，因此C的閉包是連通的。現在，C始終是C的閉包的子集，因此足以驗證C的閉包是C的子集。但我們知道C的閉包是連通的，並且X的每個連通子集恰好是單個元件的子集。因此，C = Closure(C) 並且C是閉集。這種證明對於路徑連通分量不起作用，因為路徑連通空間的閉包不一定路徑連通（例如，拓撲學家正弦曲線）。
5. 如果只有有限多個元件，那麼這些元件也是開集。如果C是一個元件，那麼它的補集是元件的有限並集，因此是閉集。因此，C是開集。這種證明對於無限多個元件不起作用，因為有理數集就證明了這一點。
- 示例
1. 實數集恰好有一個元件；整個空間。事實上，每個連通空間只有一個元件。
2. 集合
- A = (-∞,0)∪(0,+∞)
恰好有兩個元件；(-∞, 0) 和 (0, +∞)。請注意，這些是此空間中可能的最大連通子集。
3. 有理數集具有可數多個元件。每個單點集都是一個元件。事實上，對於任何完全不連通空間，單點集是該空間的元件。
4. 示例1、2和3中空間的路徑連通分量與元件完全相同。但是，它們通常並不相同。一個例子是拓撲學家正弦曲線，它有一個元件（因為它連通），但有兩個路徑連通分量
- A = {0} × [-1,1]
- B = f((0,1]) 其中f是由f(x) = sin(1/x) 定義的函式
請注意，A是閉集；但不是開集。此外，B是開集；但不是閉集。這表明，即使元件始終是閉集，路徑連通分量也不一定如此。
5. 通常，路徑連通分量是元件的子集。為了看到這一點，我們注意到拓撲空間的路徑連通分量是路徑連通的，因此是連通的。由於X的連通子集位於X的一個元件中，因此結果成立。我們將在後面證明，如果X是區域性路徑連通的，那麼路徑連通分量和元件是相等的。
6. 在字典序拓撲中，集合I × I（其中I = [0,1]）恰好有一個元件（因為它連通），但具有不可數多個路徑連通分量。事實上，對於每個屬於I的a，形式為{a} × I的任何集合都是一個路徑連通分量。
7. 令f是從R到Rℓ（R在下限拓撲中）的連續對映。由於R是連通的，並且連通空間在連續對映下的像是連通的，因此R在f下的像是連通的。因此，R在f下的像是Rℓ的某個元件的子集。由於這個像是非空的，因此從R到Rℓ的唯一連續對映是常值對映。
擬連通分量
[edit | edit source]擬連通分量的概念類似於元件的概念，我們只會簡單地介紹一下。我們首先給出定義
定義
令X為拓撲空間。在X上定義一個等價關係，宣告x~y，如果不存在將X分成集合A和B的分割，使得x是A的元素，而y是B的元素。
我們注意到，定義中給出的關係實際上是一個等價關係，讀者可以很容易地進行檢查。
性質
1. 元件始終包含在X的擬連通分量中。在證明這一點之前，我們將令x~1y，如果存在包含x和y的X的連通子集（這是定義元件時使用的等價關係），並且x~2y，如果x~y如本節中給出的定義。如果x~1y，那麼存在包含x和y的X的連通子集C。如果存在將X分成集合A和B的分割，使得x是A的元素，而y是B的元素，那麼C將與A和B都相交。這特別意味著‘C intersection A’和‘C intersection B’將在C上形成一個分割，這與C的連通性相矛盾。因此，我們必須有x~2y。
2. 從前面的性質，我們可以得出結論，空間的路徑連通分量始終位於空間的擬連通分量中（因為路徑連通分量始終位於元件中）。
示例
1. 連通空間只有一個擬連通分量；空間本身。這是由性質1得出的。
2. 在下一節中，我們將證明，如果X是區域性連通拓撲空間，那麼X的擬連通分量等於X的元件。
3. 如果X是區域性路徑連通的，那麼它是區域性連通的（如前所述），因此X的元件等於X的擬連通分量。由於如果X是區域性路徑連通的，那麼X的元件和X的路徑連通分量是相等的（我們將在下一節證明），因此如果X是區域性路徑連通空間，那麼擬連通分量、路徑連通分量和元件都是相等的。
4. 如果X是弱區域性連通的（即，在它的每個點上都是弱區域性連通的），那麼性質2仍然成立。這是因為弱區域性連通空間始終是區域性連通的（我們將在稍後證明）。
定理
[edit | edit source]在本節中，我們將證明與本文內容相關的定理。
- 定理1
拓撲空間是區域性連通的當且僅當開集的元件是開集。
- 證明
假設X是區域性連通的（其中X是所討論的拓撲空間）。令V為X中的開集，令C為V的一個元件。對於C中的每個x，選擇一個包含在V中的x的連通鄰域U（根據X的區域性連通性）。由於U是連通的，因此U是C的子集。由此可見，C是開集的並集，因此是開集。
反之，假設拓撲空間X中的開集的元件是開集。令x屬於X，令V為x的一個鄰域。令C為包含x的V的一個元件。那麼根據假設，C是開集。因此，C是包含在V中的X的連通鄰域，因此X在x處是區域性連通的。由於x是任意的，因此X是區域性連通的。
- 定理2
如果拓撲空間中開集的路徑連通分量是開集，那麼該空間是區域性路徑連通的。
- 證明
證明類似於定理1，省略。
- 定理3
如果拓撲空間X是區域性路徑連通的，那麼X的元件和路徑連通分量是相等的。
- 證明
令P為包含x的X的路徑連通分量，令C為包含x的X的元件。我們知道，根據上一節中的示例5，P是C的子集。假設P是C的真子集。由於X是開集，因此根據定理2，P在X中是開集。取所有那些與P不相交的X的路徑連通分量的並集，並將它們與C相交；將所有結果集合的並集稱為Q。那麼，P和Q在C上形成了一個分割，因為它們是不相交的、非空的（P是非空的，因為x在P中；Q是非空的，因為我們假設P是X的真子集），並且在C中是開集的（Q根據定理2和子空間拓撲的定義在C中是開集的）。這與C的連通性相矛盾。
- 定理4
令X為區域性路徑連通空間。那麼X的每個開集、連通子集都是路徑連通的。
- 證明
令U為X的連通開子集，令x屬於U。令A為U中所有可以透過路徑連線到X的點的集合。則A是開的。如果y在A中，則存在一個包含y的U的路徑連通子集V（根據空間的區域性路徑連通性）。然後我們斷言V是A的子集。如果z在V中，則存在一條從z到y的路徑。由於存在一條從x到y的路徑（因為y屬於A），我們可以將這些路徑“貼上”在一起，形成一條從x到z的路徑。因此，z在A中。因此，V是A的子集，A是開的。現在，如果y在U−A中，則不存在從y到x的路徑。如果V是y在U中的路徑連通鄰域，則V是U−A的子集。如果z在V中，並且存在一條從z到x的路徑，那麼由於已經存在一條從z到y的路徑，所以存在一條從x到y的路徑。這不可能，因為y在U−A中。因此，不存在從z到x的路徑，z在U−A中。由此可知，V是U−A的子集，U−A是開的。我們已經知道A非空（x在A中）。如果U−A非空，那麼A和U−A將構成U上的分離，這與U的連通性相矛盾。因此，U中的每個點都可以透過路徑連線到x。由此可知，U是路徑連通的。
定理 5
令 X 為弱區域性連通空間。則 X 為區域性連通的。
證明
根據定理 1，只需證明開集的連通分支是開的。令 U 為 X 中的開集，令 C 為 U 的一個連通分支。令 x 為 C 的一個元素。則 x 為 U 的一個元素，因此存在 X 的一個連通子空間 A，它包含於 U 並且包含 x 的鄰域 V。由於 A 是連通的並且 A 包含 x，因此 A 必須是 C 的子集（包含 x 的連通分支）。因此，x 的鄰域 V 是 C 的子集。由於 x 是任意的，我們已經證明 C 中的每個 x 都有一個包含於 C 的鄰域 V。這表明 C 相對於 U 是開的。因此，X 是區域性連通的。
定理 6
令 X 為拓撲空間。如果 X 是區域性連通的，則 X 的擬連通分支等於 X 的連通分支。
證明
我們之前在擬連通分支部分提到過，空間的每個連通分支都包含於空間的一個擬連通分支中。如果空間是區域性連通的，則只需證明擬連通分支始終位於連通分支中。根據定理 1，X 的連通分支是開的（因為 X 是區域性連通的）。因此，如果 x~1y 不成立（x 在定義連通分支的等價關係下不等於 y），則包含 x 的連通分支既是開的又是閉的（連通分支始終是閉的；包含 x 的連通分支是開的，因為 X 是區域性連通拓撲空間），因此存在 X 的一個分離，它將 X 分成集合 A 和 B，使得 A 包含 x 並且 B 包含 y（A 是包含 x 的連通分支，並且 B = X-A）。因此，x 在定義擬連通分支的等價關係下不可能等於 y。因此，我們已經證明，如果 y 不在包含 x 的連通分支中，則 y 不可能在包含 x 的擬連通分支中。根據初等集合論，這意味著如果 y 在包含 x 的擬連通分支中，則它必須在包含 x 的連通分支中。因此，X 的擬連通分支等於 X 的連通分支。
- 定理的一些應用
1. 根據定理 4，我們可以得出結論，R 的每個連通開子集都是路徑連通的（因為 R 是區域性路徑連通的）。此外，R2 的每個連通開子集都是路徑連通的。
2. 有理數 集合 Q 不是區域性連通的，因為 Q 的連通分支在 Q 中不是開的（參見定理 1）。
3. R 的初等子集的連通分支和路徑連通分支相同。此外，R 的初等子集是區間有限並集，因為每個初等子集都是區域性路徑連通的。
4. 在平面上取點 p = (0.5,0.5)。對於 R 中的每個有理數 x，令 Tx 表示連線 p 到 (x,0) 的線段。令 T 為所有此類 Tx 的並集。則 T 僅在 p 處是區域性連通的。但是，它在任何其他點都不是區域性連通的（如果 x 與 p 不同且屬於 T，則選擇 x 的一個鄰域（在 R^2 中是開的），它與 p 不相交併且不與 x 軸相交。這個鄰域與 T 的交集同胚於 R 中開區間的可數並集（我們留給您在同胚性習題中進行檢查（參見下一節）），因此不可能是連通的。因此，比這個鄰域更小的任何鄰域都不可能連通）。因此，根據定理 5，T 不可能弱區域性連通。
5. 參見無限掃帚（或掃帚空間）。這是一個空間的例子，該空間在特定點是弱區域性連通的，但在該點不是區域性連通的。讀者可以參考 Wolfram MathWorld 獲取掃帚空間的定義。另請參見本文中關於“弱區域性連通空間”的部分。
練習
[edit | edit source]簡單問題
1. 證明如果 X 是區域性路徑連通的，則 X 是區域性連通的。
2. 證明 X 精確地具有一個連通分支當且僅當 X 是連通的。這個連通分支是什麼？
3. 如果 f 是從拓撲空間 X 到拓撲空間 Y 的連續滿射，如果 X 是區域性連通的，則 Y 是否區域性連通？為了使該語句為真，您可以施加哪些條件，即區域性連通空間的連續像（如果您的答案是第一個問題的肯定答案，請忽略第二個問題；但是，如果您的答案是肯定的，則必須證明它）？
4. a) 證明字典序拓撲中的集合 I X I 是區域性連通的（提示：I X I 拓撲上的基元同胚於 R 中哪個熟悉的連通子空間？）
b*) 找出該空間的路徑連通分支（提示：首先透過獲得矛盾並使用中間值定理（假設 [0,1] 是連通的）來證明該空間不是路徑連通的）
c) 使用您對 b) 的答案來確定空間 I X I 是否是區域性路徑連通的。
5. 證明定理 2
普通問題
在這些問題中，我們將驗證區域性連通性是否在乘積和其他此類運算下保持不變。預計讀者熟悉乘積拓撲。
6. a) 考慮集合 X = (-1,0) U (0,1)，它顯然不是連通的。證明該集合是區域性連通的。並找到該空間的連通分支（提示：在證明該空間是區域性連通的時，假設 (0,1) 是連通的。然後構造從 (0,1) 到 (-1,0) 的同胚對映來證明 (-1,0) 是連通的）
b) 應用一個定理來證明該空間的路徑連通分支等於該空間的連通分支。證明您做出的任何假設。
c) 令 E 為 R 的一個初等子集（該術語源於測度論，其中 E 被認為是 R 的一個初等子集，如果它是區間（不一定開）的有限並集，證明 E 是區域性連通的，假設每個區間都是連通的。
7. 假設我們將 X 與自身進行有限次乘積。這個新的空間是區域性連通的嗎？（提示：使用連通空間的乘積始終是連通的這一事實）
8. 現在，如果我們使用乘積拓撲將 X 與自身進行無限次乘積，將這個新的空間稱為 Y。我們將在問題 8 中檢查 Y 是否是區域性連通的。我們讓讀者在閱讀問題 8 之前先思考一下。
參見問題 7，並在閱讀問題 8 之前進行思考:
9. a) Y 上的乘積拓撲的基元是連通的嗎？（提示：投影對映是連續的；因此連通空間的投影始終是連通的）
b) 可能 a) 給我們一個關於 Y 是否是區域性連通的猜想。根據您對 a) 的答案，證明或反駁 Y 是區域性連通的。（提示：如果您的答案是 a) 是肯定的，則找到一個點的至少一個連通鄰域（請注意，點的鄰域不一定是一個基元）。如果您的答案是 a) 是否定的，則從反證法開始
如果 x 是 Y 的一個點並且 V 是 x 的一個鄰域，假設 U 是包含於 V 的 x 的一個連通鄰域。然後 U 包含關於 X 的一個基元。請注意，投影對映是連續的，因此 U 在每個投影下的像應該是連通的。獲得矛盾）
c) Y 是弱區域性連通的嗎？證明你的答案（提示：這個想法類似於 b) 部分）
研究問題
您將被要求根據您的知識制定假設:
10. 與拓撲空間的連通分支始終是閉的一樣，您認為路徑連通分支是否滿足類似的性質？
我們將分析這個問題（現在參見問題 9，並在回答問題 10 之前進行思考）
11. a) 是否可以確定連通空間的路徑連通分支（無需知道空間是什麼）？是否可以確定路徑連通空間的路徑連通分支（無需知道空間是什麼）？
b) 拓撲學家正弦曲線不是路徑連通的。假設這一點確定它的路徑連通分支並分析這些路徑連通分支滿足的性質（確定它們是閉的、開的還是兩者都不是）。
c) 從 10.b) 中，您應該能夠回答問題 9。作為我們將留給讀者思考的問題
12. 拓撲空間的連通分支是否一定是區域性連通的？
13. 拓撲空間的路徑連通分支是否一定是區域性路徑連通的？（提示：這個問題比問題 7 稍微複雜一些；您可能需要構造自己的空間（R^2 的一個子空間））
14. a) 證明同胚對映保持路徑連通性。
b) 推論拓撲學家正弦曲線和梳狀空間不是同胚的。
以下問題是一個研究型別問題:
15*. 就像空間有組成部分一樣，你能發明一個類似的等價關係來確定空間的“區域性組成部分”嗎？這些“區域性組成部分”應該是空間中最大的區域性連通子集。
示例型別問題
16. 給出一個例子，其中空間的路徑連通分量和空間的連通分量不相等。再給出一個不同的例子，其中空間的路徑連通分量和擬連通分量不相等。
17. 找一個區域性連通但不是區域性路徑連通的空間的例子。
18*. 給出一個例子，其中空間的擬連通分量和空間的連通分量不相等。
19. 如果 X 與 Y 區域性同胚且 X 區域性連通，Y 一定是區域性連通的嗎？證明你的答案。
關於弱區域性連通空間的問題
20. 提出一個新的概念，稱為弱區域性路徑連通性，它使用與弱區域性連通空間定義相同的思想。
a) 證明每個弱區域性路徑連通空間都是區域性路徑連通的
b) 給出一個弱區域性路徑連通空間的例子，它不是區域性路徑連通的（在某個特定點）。
21. 如定理 2 所示，用連通分量來刻畫弱區域性連通空間（提示：記住定理 5）
關於同胚的問題
22. 在“定理的應用”一節中，檢查 4 的細節。
23. 證明如果 X 有“n”個連通分量，而 Y 與 X 同胚，則 Y 有“n”個連通分量。給出一個例子，其中 f 是從 X 到 Y 的連續滿射，X 有“n”個連通分量，但 Y 沒有。
24. a) 假設 p 是一個連續的閉滿射，使得對於 Y 的每個元素 y，p^(-1) {y} 在 X 中是緊緻的（p: X->Y）（不熟悉緊緻性的讀者可以參考維基百科）。證明如果 Y 是區域性連通的，那麼 X 也是。
b) 證明如果 Y 是連通的，那麼 X 也是。
c) 如果 X 是區域性連通的，Y 一定是區域性連通的嗎？
難題
25. 每個具有一個以上點的連通豪斯多夫空間是否都是不可數的（提示：每個具有一個以上點的連通度量空間都是不可數的；證明這個斷言。看看當考慮豪斯多夫空間時，這個證明會遇到什麼困難。記住度量空間總是第一可數的、正規的、仿緊的等等，而豪斯多夫空間則不然）？