拓撲/線性連續統
一個有序集，S，被稱為線性連續統，如果它滿足以下性質
a) S 具有最小上界性質
b) 對於 S 中的每個 x 和 S 中的每個 y，當 x < y 時，存在 S 中的 z 使得 x < z < y
如果一個集合的任何非空子集，如果有上界，就存在最小上界，那麼這個集合就具有最小上界性質。線性連續統在拓撲學領域特別重要，它可以用來驗證給定序拓撲的有序集是否連通。
1. 實數的有序集，R，在其通常順序下是一個線性連續統。性質 b) 是平凡的，而性質 a) 僅僅是對完備性公理的重新表述。
2. 有理數集不是線性連續統。儘管性質 b) 滿足，但性質 a) 不滿足。考慮子集
- A = { x | x < √2 }
在有理數集中。儘管這個集合被大於 √2 的任何有理數（例如 3）所上界，但它沒有最小上界。
3. 非負整數集及其通常順序不是線性連續統。性質 a) 滿足（設 A 是非負整數集的一個上界子集。那麼 A 是有限的，因此它有一個最大值。這個最大值就是 A 的所需最小上界）。另一方面，性質 b) 不滿足。實際上，5 是一個非負整數，6 也是，但不存在嚴格介於它們之間的非負整數。
4. 非零實數的有序集 A
- A = (-∞, 0) U (0, +∞)
不是線性連續統。性質 b) 是平凡滿足的。然而，如果 B 是負實數集
- B = (-∞, 0)
那麼 B 是 A 的一個子集，它有上界（被任何大於 0 的 A 中的元素所上界；例如 1），但在 A 中沒有最小上界。注意，0 不是 B 的界，因為 0 不是元素 of A.
5. 令 Z- 表示負整數集，令 A = (0,5) ∪ (5,+∞)。令
- S = Z- U A
那麼 S 既不滿足性質 a) 也不滿足性質 b)。證明類似於示例 3 和 4。
6. 在字典序中，I × I （其中 × 表示笛卡爾積，I = [0, 1]）是一個線性連續統。性質 b) 是平凡的。為了檢查性質 a)，我們定義了一個對映，π1 : I × I -> I，由
- π1 (x, y) = x
這個對映被稱為投影對映。投影對映是連續的（關於 I × I 上的乘積拓撲），並且是滿射的。設 A 是 I × I 的一個非空子集，它有上界。考慮 π1(A)。由於 A 有上界，所以 π1(A) 也必須有上界。由於 π1(A) 是 I 的一個子集，因此它必須有最小上界（因為 I 具有最小上界性質）。因此，我們可以令 b 為 π1(A) 的最小上界。如果 b 屬於 π1(A)，那麼 b × I 將在 A 的某個點 b × c 與 A 相交，其中 c isin; I。我們只需選擇滿足該性質的最大 c，b × c 將是 A 的所需最小上界（注意：由於 b × I 具有相同的[I 的序型]，集合 (b × I) ∩ A 確實有最小上界）。如果 b 不屬於 π1(A)，那麼 b × 0 是 A 的最小上界。因為如果 d < b，並且 d × e 是 A 的最小上界，那麼 d 將是 π1(A) 比 b 更小的上界，這與 b 的唯一性質相矛盾。
儘管線性連續統在有序集的研究中很重要，但它們在拓撲學的數學領域也有應用。事實上，我們將證明，一個在序拓撲下的有序集是連通的當且僅當它是一個線性連續統（注意“當且僅當”部分）。我們將證明一個蘊含，並將另一個作為練習留給讀者。
定理
設 X 是一個在序拓撲下的有序集。如果 X 是連通的，那麼 X 是一個線性連續統。
證明
假設，x 屬於 X，y 屬於 X，其中 x < y。如果不存在 X 中的 z 使得 x < z < y，則考慮集合
A = (-∞, y)
B = (x, +∞)
這些集合是不交的（如果 a 屬於 A，則 a < y，因此如果 a 屬於 B，則 a > x 且 a < y，這與假設矛盾），非空的（x 屬於 A，y 屬於 B），並且是開集（在序拓撲下），它們的並集是 X。這與 X 的連通性矛盾。
現在我們證明最小上界性質。如果 C 是 X 的一個上界子集，並且沒有最小上界，設 D 是所有形式為 (b, +infinity) 的開射線的並集，其中 b 是 C 的上界。那麼 D 是開集（因為它是一系列開集的並集），並且是閉集（如果 'a' 不屬於 D，那麼對於所有 C 的上界 b，a < b，因此我們可以選擇 q > a，使得 q 屬於 C（如果不存在這樣的 q，則 a 是 C 的上界），那麼包含 a 的一個開區間可以選擇，它與 D 不相交）。由於 D 非空（D 有不止一個上界，因為如果只有一個上界 s，則 s 將是最小上界。然後，如果 b1 和 b2 是 D 的兩個上界，且 b1 < b2，則 b2 將屬於 D），D 及其補集一起在 X 上形成了一個分離。這與 X 的連通性矛盾。
1. 注意，由於有序集
A = (-∞, 0) U (0,+∞)
不是一個線性連續統，它是不連通的。
2. 透過應用剛剛證明的定理，可以得出 R 是連通的事實。實際上，R 中的任何區間（或射線）也是連通的。
3. 注意整數集不是一個線性連續統，因此不能是連通的。
4. 事實上，如果一個在序拓撲下的有序集是一個線性連續統，那麼它必須是連通的。由於該集合中的任何區間也是一個線性連續統，因此該空間是區域性連通的，因為它有一個完全由連通集組成的基。
5. 有關作為線性連續統的拓撲空間的一個有趣示例，請參見長線（在維基百科中）。
1. a)* 證明如果 X 是一個線性連續統，那麼 X 是連通的。
b) 給出一個滿足線性連續統定義中的性質 b) 但不連通的集合的例子
2. a) 一個區域性連通的，給定序拓撲的有序集是一個線性連續統嗎？
b) a) 的逆命題成立嗎？
3. 證明如果 Y 是一個良序集，那麼 Y X [0,1) 是一個線性連續統。
4*. a) 任何給定序拓撲的路徑連通有序集都是一個線性連續統，但任何線性連續統都一定是路徑連通的嗎？（提示：為什麼不檢查字典序拓撲？）
b) 讀者可以參考下一節的練習 4 來了解這個問題的答案。但是，鼓勵讀者在解決問題之前不要去看下一節的練習 4。注意 4.a) 中使用 * 表示難度。您必須證明您的 4.a) 中的斷言！
5.a) 判斷一個滿足 b) 的，給定序拓撲的有序集是否有有限多個連通分支。
b) 注意線性連續統中重要的性質 a) 在確定給定序拓撲的有序集的連通性方面至關重要。證明如果 X 是一個在序拓撲下僅滿足線性連續統定義中的性質 b) 的有序集，那麼 X 可以是完全不連通的。給出一個這樣的有序集 X 的例子。
6. 以下結果是否正確
一個有序集 X 有序拓撲等於 X 上的離散拓撲，當且僅當 X 不滿足線性連續統定義中的性質 b)。
如果不是，那麼至少一個蘊含關係成立嗎？如果是，哪一個成立？