如果存在一個集合與其自身與整數集之間的一一對應關係，則稱該集合為可數 的。
偶數： 在整數和偶數之間存在一個簡單的雙射，即 f : Z → Z {\displaystyle f:\mathbf {Z} \rightarrow \mathbf {Z} } f ( n ) = 2 n {\displaystyle f(n)=2n}
二維格： 設 Z 2 {\displaystyle \mathbf {Z} ^{2}} Z 2 {\displaystyle \mathbf {Z} ^{2}}
證明：設 f : Z → Z {\displaystyle f:\mathbf {Z} \rightarrow \mathbf {Z} } f ( 0 ) = ( 0 , ) {\displaystyle f(0)=(0,)} f ( n ) = ( x , y ) {\displaystyle f(n)=(x,y)} ( x , y ) {\displaystyle (x,y)}
未由某個 f ( m ) {\displaystyle f(m)} m < n {\displaystyle m<n} (x,y) 是距離 f ( n − 1 ) {\displaystyle f(n-1)} 因為 f {\displaystyle f}
如果對於拓撲空間 X {\displaystyle X} x ∈ X {\displaystyle x\in X} x {\displaystyle x} U {\displaystyle {\mathcal {U}}} N {\displaystyle N} x {\displaystyle x} U ∈ U {\displaystyle U\in {\mathcal {U}}} U ⊆ N {\displaystyle U\subseteq N}
滿足第一可數公理的拓撲空間稱為第一可數 的。
所有度量空間都滿足第一可數公理，因為對於點 x {\displaystyle x} N {\displaystyle N} B r ( x ) {\displaystyle B_{r}(x)} N {\displaystyle N} x {\displaystyle x} B 1 / k ( x ) {\displaystyle B_{1/k}(x)} k ∈ N {\displaystyle k\in \mathbb {N} } B 1 / n ( x ) {\displaystyle B_{1/n}(x)} 1 n < r {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}<r}
如果一個拓撲空間滿足第一可數公理，那麼對於集合 S {\displaystyle S} x {\displaystyle x} { a i } {\displaystyle \{a_{i}\}} S {\displaystyle S} x {\displaystyle x}
令 { A i } {\displaystyle \{A_{i}\}} x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} N {\displaystyle N} A i {\displaystyle A_{i}} A i ⊂ N {\displaystyle A_{i}\subset N}
B n = ⋂ i = 1 n A n {\displaystyle B_{n}=\bigcap _{i=1}^{n}A_{n}} .
然後構造一個序列 { a i } {\displaystyle \{a_{i}\}} a i ∈ B i {\displaystyle a_{i}\in B_{i}} { a i } {\displaystyle \{a_{i}\}} x {\displaystyle x}
設 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} { x n } ⊂ A {\displaystyle \{x_{n}\}\subset A} A {\displaystyle A}
假設序列 { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} X {\displaystyle X} x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} x {\displaystyle x} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} x {\displaystyle x} A {\displaystyle A} { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A}
如果拓撲空間 X {\displaystyle X} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} x {\displaystyle x} { f ( x n ) } {\displaystyle \{f(x_{n})\}} f ( x ) {\displaystyle f(x)}
設 X {\displaystyle X} f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} x {\displaystyle x} B {\displaystyle B} f ( x ) {\displaystyle f(x)} f {\displaystyle f} x {\displaystyle x} A ⊂ f − 1 ( B ) {\displaystyle A\subset f^{-1}(B)} { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} x {\displaystyle x} N ∈ N {\displaystyle N\in \mathbb {N} } n > N {\displaystyle n>N} A {\displaystyle A} x n {\displaystyle x_{n}} f ( A ) {\displaystyle f(A)} B {\displaystyle B} f ( x n ) {\displaystyle f(x_{n})} n > N {\displaystyle n>N} { f ( x n ) } {\displaystyle \{f(x_{n})\}} f ( x ) {\displaystyle f(x)}
反之，假設只要
{ x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} 收斂於
x {\displaystyle x} ，則
{ f ( x n ) } {\displaystyle \{f(x_{n})\}} 收斂於
f ( x ) {\displaystyle f(x)} 。設
B {\displaystyle B} 是
Y {\displaystyle Y} 的一個閉子集。設
x n ∈ f − 1 ( B ) {\displaystyle x_{n}\in f^{-1}(B)} 是一個收斂於極限
x {\displaystyle x} 的序列。則
f ( x n ) {\displaystyle f(x_{n})} 收斂於極限
f ( x ) {\displaystyle f(x)} ，它在
B {\displaystyle B} 內。因此，
x {\displaystyle x} 在
f − 1 ( B ) {\displaystyle f^{-1}(B)} 內，這意味著它是閉集。因此，
f {\displaystyle f} 是連續的。
如果一個拓撲空間具有可數基，則稱該拓撲空間滿足第二可數公理 。
滿足第二可數公理的拓撲空間被稱為第二可數 。
如果一個拓撲空間滿足第二可數公理，則它也是第一可數的，因為點的一個可數鄰域族可以是該點在一個可數基內的所有鄰域，因此該點的任何鄰域 N {\displaystyle N} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A} N {\displaystyle N}
如果一個拓撲空間 X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}
設 G {\displaystyle {\mathcal {G}}} X {\displaystyle X} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} X {\displaystyle X} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} X {\displaystyle X} x {\displaystyle x} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} C x {\displaystyle C_{x}} x {\displaystyle x} B x {\displaystyle B_{x}} x {\displaystyle x} C x {\displaystyle C_{x}} B {\displaystyle {\mathcal {B}}} { B x } {\displaystyle \{B_{x}\}} X {\displaystyle X} B x {\displaystyle B_{x}} G {\displaystyle {\mathcal {G}}} B x {\displaystyle B_{x}} G {\displaystyle {\mathcal {G}}}
如果拓撲空間 X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} C l ( A ) = X {\displaystyle \mathrm {Cl} (A)=X} 可分的 。
舉例： R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} Q n {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}} C l ( Q n ) = R n {\displaystyle \mathrm {Cl} (\mathbb {Q} ^{n})=\mathbb {R} ^{n}}
如果拓撲空間 X {\displaystyle X}
舉例：實數集和複數集都是可分的。
如果一個拓撲空間滿足第二可數公理 ，則它是可分的。
考慮空間 X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} A {\displaystyle A}
在任何拓撲空間中，第二可數性意味著可分性和 第一可數性。證明留給讀者。
如果一個度量空間是可分的，那麼它滿足第二可數公理。
Let X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} C l ( A ) = X {\displaystyle \mathrm {Cl} (A)=X} B {\displaystyle B} { B 1 / k ( p ) | k ∈ N , p ∈ A } {\displaystyle \{B_{1/k}(p)|k\in N,p\in A\}} O {\displaystyle O} x {\displaystyle x} O {\displaystyle O} N {\displaystyle N} x {\displaystyle x} O {\displaystyle O} r ′ {\displaystyle r'} 1 / n {\displaystyle 1/n} r {\displaystyle r} C l ( A ) = X {\displaystyle \mathrm {Cl} (A)=X} x ′ ∈ A {\displaystyle x'\in A} d ( x ′ , x ) < r ′ 4 {\displaystyle d(x',x)<{\tfrac {r'}{4}}} B r ′ / 2 ( x ′ ) {\displaystyle B_{r'/2}(x')} B {\displaystyle B} O {\displaystyle O} y ∈ B r ′ / 2 ( x ′ ) {\displaystyle y\in B_{r'/2}(x')} d ( y , x ) ≤ d ( y , x ′ ) + d ( x ′ , x ) < 3 4 r ′ < r {\displaystyle d(y,x)\leq d(y,x')+d(x',x)<{\tfrac {3}{4}}r'<r} B r ′ / 2 ⊆ O {\displaystyle B_{r'/2}\subseteq O} x {\displaystyle x} O {\displaystyle O} O {\displaystyle O} B {\displaystyle B} X {\displaystyle X}
如果一個度量空間是可分的，那麼它滿足第二可數公理，因此該度量空間的任何子集的任何覆蓋都可以簡化為可數覆蓋。
例如：由於 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
拓撲空間 X {\displaystyle X} A {\displaystyle A} 可數緊 當且僅當 A {\displaystyle A}
顯然，所有緊緻空間都是可數緊緻的。
如果一個可數緊緻空間滿足第二可數公理，則根據上述定理，它也是緊緻的。
拓撲空間 X {\displaystyle X}
( ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } { x i } {\displaystyle \{x_{i}\}} ( i = 1 , 2 , 3 , . . . ) {\displaystyle (i=1,2,3,...)} X {\displaystyle X} S n = { x i } {\displaystyle S_{n}=\{x_{i}\}} ( i = n , n + 1 , n + 2 , . . . ) {\displaystyle (i=n,n+1,n+2,...)} X ∖ S n {\displaystyle X\setminus S_{n}} { X ∖ S n i } {\displaystyle \{X\setminus S_{n_{i}}\}} X {\displaystyle X} S n m a x { i } {\displaystyle S_{n_{max\{i\}}}} X {\displaystyle X}
( ⇐ {\displaystyle \Leftarrow } { S n } {\displaystyle \{S_{n}\}} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X}
B n = ⋃ i = 1 n S n {\displaystyle B_{n}=\bigcup _{i=1}^{n}S_{n}}
它不能覆蓋 X {\displaystyle X} x n {\displaystyle x_{n}} x n ∉ B n {\displaystyle x_{n}\notin B_{n}} x {\displaystyle x} X ∖ B n {\displaystyle X\setminus B_{n}} X ∖ B n {\displaystyle X\setminus B_{n}} x ∈ X ∖ B n {\displaystyle x\in X\setminus B_{n}} x ∉ B n {\displaystyle x\notin B_{n}} S n {\displaystyle S_{n}} S n {\displaystyle S_{n}} X {\displaystyle X}
由於存在相對緊性，因此存在一個類似的性質，稱為相對可數緊性。
拓撲空間 X 的一個子集 S，當其閉包 Cl(S) 是可數緊的時，稱為相對可數緊 。
如果對於任何 ε > 0，集合 N ⊆ X 是度量空間 X 的ε-網 ，則對於 X 中的任何 b，都存在一個元素 x ∈ N，使得 d(b,x) < ε。
如果對於任何 ε > 0，度量空間 X 都具有一個有限的 ε-網，則稱該度量空間 X 為完全有界 的。
可數緊緻的度量空間是完全有界的。
可數緊度量空間 X {\displaystyle X} x 1 , x 2 , x 3 , … {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots } x n {\displaystyle x_{n}} x d {\displaystyle x_{d}} d < n {\displaystyle d<n} ε {\displaystyle \varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon } ε {\displaystyle \varepsilon }
完全有界集是可分的。
取所有有限 1 / n {\displaystyle 1/n} n {\displaystyle n} X {\displaystyle X}
以下定理建立了拓撲空間可度量化的充分條件。
一個第二可數的正規T1拓撲空間與一個度量空間同胚。
在這個證明中，我們將使用希爾伯特立方體（它是一個度量空間），來證明拓撲空間與希爾伯特立方體的一個子集同胚，因此它也是一個度量空間。
首先，由於所有T1正規空間都是豪斯多夫空間，所以所有單點都是閉集。因此，考慮拓撲空間X的任何可數基，以及它的任何開集 O n {\displaystyle O_{n}} x n {\displaystyle x_{n}} f n : X → [ 0 , 1 ] {\displaystyle f_{n}:X\rightarrow [0,1]}
f n ( x n ) = 0 {\displaystyle f_{n}(x_{n})=0} f n ( X / O n ) = 1 {\displaystyle f_{n}(X/O_{n})=1}
從烏雷松引理的證明中可以很容易地看出，我們不僅構造了一個具有這些性質的函式，而且還構造了一個使得 f n ( O n ) < 1 {\displaystyle f_{n}(O_{n})<1}
現在定義函式 g : X → H {\displaystyle g:X\rightarrow H} g ( x ) = ( f 1 ( x ) , f 2 ( x ) 2 , f 3 ( x ) 4 , . . . ) {\displaystyle g(x)=(f_{1}(x),{\frac {f_{2}(x)}{2}},{\frac {f_{3}(x)}{4}},...)}
為了證明它是連續的，令 a n → a {\displaystyle a_{n}\rightarrow a} a 的序列。考慮開球 B ϵ ( f ( a ) ) {\displaystyle B_{\epsilon }(f(a))} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}
∑ i = N ∞ ( 1 2 i ) 2 < ϵ 2 2 {\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }({\frac {1}{2^{i}}})^{2}<{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}}
此外，由於 f n {\displaystyle f_{n}} a {\displaystyle a} S n {\displaystyle S_{n}} y ∈ S n {\displaystyle y\in S_{n}}
| f n ( y ) − f n ( z ) | < 2 n ϵ 2 N {\displaystyle |f_{n}(y)-f_{n}(z)|<{\frac {2^{n}\epsilon }{\sqrt {2N}}}}
或者
( f n ( y ) − f n ( z ) 2 n ) 2 < ϵ 2 2 N {\displaystyle ({\frac {f_{n}(y)-f_{n}(z)}{2^{n}}})^{2}<{\frac {\epsilon ^{2}}{2N}}}
令
S = ⋂ i = 1 N − 1 S i {\displaystyle S=\bigcap _{i=1}^{N-1}S_{i}}
此外，由於 a n → a {\displaystyle a_{n}\rightarrow a} M i {\displaystyle M_{i}} n > M i {\displaystyle n>M_{i}} a n ∈ S i {\displaystyle a_{n}\in S_{i}} M i {\displaystyle M_{i}} a n ∈ S {\displaystyle a_{n}\in S}
令n>M，則 g ( a n ) {\displaystyle g(a_{n})}
∑ i = 1 ∞ ( f i ( a n ) − f i ( a ) 2 i ) 2 = {\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }({\frac {f_{i}(a_{n})-f_{i}(a)}{2^{i}}})^{2}=} ∑ i = 1 N − 1 ( f i ( a n ) − f i ( a ) 2 i ) 2 + {\displaystyle \sum _{i=1}^{N-1}({\frac {f_{i}(a_{n})-f_{i}(a)}{2^{i}}})^{2}+} ∑ i = N ∞ ( f i ( a n ) − f i ( a ) 2 i ) 2 ≤ {\displaystyle \sum _{i=N}^{\infty }({\frac {f_{i}(a_{n})-f_{i}(a)}{2^{i}}})^{2}\leq } N − 1 2 N ϵ 2 + ∑ i = N ∞ ( f n ( y ) − f n ( z ) 2 n ) 2 ≤ {\displaystyle {\frac {N-1}{2N}}\epsilon ^{2}+\sum _{i=N}^{\infty }({\frac {f_{n}(y)-f_{n}(z)}{2^{n}}})^{2}\leq } N − 1 2 N ϵ 2 + ϵ 2 2 < ϵ 2 . {\displaystyle {\frac {N-1}{2N}}\epsilon ^{2}+{\frac {\epsilon ^{2}}{2}}<\epsilon ^{2}.}
這證明了它是連續的。
為了證明該函式是一對一的，考慮兩個不同的點 a 和 b。由於空間是豪斯多夫空間，存在不相交的開集 a ∈ U a {\displaystyle a\in U_{a}} b ∈ U b {\displaystyle b\in U_{b}} U a {\displaystyle U_{a}} O n {\displaystyle O_{n}} f n ( a ) < 1 {\displaystyle f_{n}(a)<1} f n ( b ) = 1 {\displaystyle f_{n}(b)=1} g − 1 {\displaystyle g^{-1}}
為了證明逆函式 g − 1 {\displaystyle g^{-1}} O n {\displaystyle O_{n}} O n {\displaystyle O_{n}} f n ( x ) < 1 {\displaystyle f_{n}(x)<1} ϵ n > 0 {\displaystyle \epsilon _{n}>0}
| f n ( z ) − f n ( x ) | < 2 n ϵ n {\displaystyle |f_{n}(z)-f_{n}(x)|<2^{n}\epsilon _{n}}
則 z ∈ O n {\displaystyle z\in O_{n}}
假設 g ( z ) ∈ g ( X ) ∩ B ϵ n ( g ( y ) ) {\displaystyle g(z)\in g(X)\cap B_{\epsilon _{n}}(g(y))}
( f n ( z ) − f n ( x ) 2 n ) 2 ≤ ∑ i = 1 ∞ ( f i ( z ) − f i ( x ) 2 i ) 2 ≤ ϵ n 2 {\displaystyle ({\frac {f_{n}(z)-f_{n}(x)}{2^{n}}})^{2}\leq \sum _{i=1}^{\infty }({\frac {f_{i}(z)-f_{i}(x)}{2^{i}}})^{2}\leq \epsilon _{n}^{2}}
這意味著 | f n ( z ) − f n ( x ) | ≤ 2 n ϵ n {\displaystyle |f_{n}(z)-f_{n}(x)|\leq 2^{n}\epsilon ^{n}} z ∈ O n {\displaystyle z\in O_{n}}
現在考慮x周圍的任何開集O。則存在基集 x ∈ O n ⊆ O {\displaystyle x\in O_{n}\subseteq O} ϵ n > 0 {\displaystyle \epsilon _{n}>0} g ( z ) ∈ g ( X ) ∩ B ϵ n ( g ( y ) ) {\displaystyle g(z)\in g(X)\cap B_{\epsilon _{n}}(g(y))} z ∈ O n {\displaystyle z\in O_{n}} z ∈ O {\displaystyle z\in O}
由於該函式是連續的、一一對映的，並且具有連續的逆函式，因此它是一個同胚對映，證明了X是可度量化的。
注意，這也證明了希爾伯特立方體包含任何第二可數的正規T1空間。
希爾伯特曲線——一條空間填充曲線 漢-馬祖爾基維茨定理是點集拓撲學歷史上最重要的結果之一，因為它完全解決了“空間填充”曲線的難題。該定理提供了空間被“曲線覆蓋”的充要條件，這一特性被廣泛認為是違反直覺的。
這裡，我們給出定理但不給出證明。
一個豪斯多夫空間是單位區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]}
證明一個可分離的度量空間滿足第二可數公理。因此，或以其他方式，證明一個可數緊緻的度量空間是緊緻的。
證明漢-馬祖爾基維茨定理的充分性條件 
![{\displaystyle f_{n}:X\rightarrow [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef9bb00cceeffef0bf10dace179d38c5e2dc714)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)