拓撲/康托爾空間

康托爾空間是康托爾集的推廣，可以將康托爾空間的任何元素視為康托爾集的同胚類，如下定義。

康托爾集的定義

康托爾集是透過無限次移除單位區間子集而得到的極限，如這裡所示。

因此，在任何給定步驟中，我們都會移除單位區間的中間三分之一，令 $C_{0}=[0,1]$，因此在第 n 步中，我們有

$C_{n}={\frac {C_{n-1}}{3}}\cup {\big (}{\frac {2}{3}}+{\frac {C_{n-1}}{3}}{\big )}$

因此，其效果是將前一步縮小三分之一，並將兩個副本並排放置。然後康托爾集是

$C=\bigcap _{i=0}^{\infty }C_{i}$

康托爾空間的定義

康托爾空間是任何與上述定義的 $C$ 同胚的拓撲空間。以下定理闡明瞭該定義的價值。

布勞威爾定理

布勞威爾原定理的一種等效形式是：“一個拓撲空間是康托爾空間，當且僅當它是非空的、完美的、緊緻的、完全不連通的，並且是可度量的。”

為了理解這一點，讓我們補充一下尚未涵蓋的定義。

1. 顯然，非空意味著它不是空集。

2. 完美意味著該空間沒有孤立點（沒有其單點集是環境空間中開放集的點）。

3. 緊緻性已經涵蓋了。

4. 完全不連通意味著該空間的連通分量（最大連通子集）都是點。

5. 可度量意味著該空間存在一個度量。

因此，該定理指出，這些條件的組合將導致一個與康托爾集同胚的空間。

示例

考慮從無限二進位制碼集 $\{0,1\}^{\mathbb {N} }$（通常寫為 $2^{\mathbb {N} }$）到上述定義的康托爾集的對映：$f:2^{\mathbb {N} }\to C$，定義為對於序列 $a=(a_{i})_{i=0}^{\infty }$

$f(a)=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {2a_{i}}{3^{i+1}}}$

那麼 f 是一個度量空間的同胚，這意味著上述所有性質都適用於空間 $2^{\mathbb {N} }$.