拓撲/緊緻性

緊緻性的概念出現在各種各樣的環境中。特別地，緊緻性是一個“適度性”屬性，它告訴你你正在處理的物件在某種意義上是良好行為的。

定義

令 $X$ 是一個拓撲空間，令 $S\subseteq X$

一個開放集合的集合 ${\mathcal {G}}$，即 $\{G_{\alpha }\}$，被稱為 $S$ 的開覆蓋，如果 $S\subseteq \displaystyle \bigcup _{\mathcal {G}}G_{\alpha }$

$S$ 被稱為緊緻當且僅當 $S$ 的每個開覆蓋都有一個有限子覆蓋。更正式地說，$S$ 是緊緻的，當且僅當對於 $S$ 的每個開覆蓋 ${\mathcal {G}}$，存在 ${\mathcal {G}}$ 的一個有限子集 $\{G_{\alpha _{1}},G_{\alpha _{2}},\ldots ,G_{\alpha _{n}}\}$，它也是 $S$ 的一個開覆蓋。

如果集合 $X$ 本身是緊緻的，我們說 $X$ 是一個緊緻拓撲空間。

拓撲空間的緊緻性也可以用以下等價的表徵之一來表達

• 在 $X$ 上的每個包含閉集濾子基的濾子，其交集非空。
• 在 $X$ 上的每個超濾子都是收斂的。

重要性質

• 緊集的每個閉子集都是緊的。
  證明:
  設 $S\subseteq X$ 為一個緊集，設 $K$ 為 $S$ 的一個閉子集。考慮 $K$ 的任意開覆蓋 ${\mathcal {G}}$。觀察到 $X\setminus K$ 是開集，所以開集族 ${\mathcal {G}}\cup \{X\setminus K\}$ 是 $S$ 的一個開覆蓋。由於 $S$ 是緊集，所以這個開覆蓋存在一個有限子覆蓋 ${\mathcal {G}}'$。
  現在，考慮集合 ${\mathcal {G}}'\setminus \left(X\setminus K\right)$。這個集合顯然是有限的，也是 ${\mathcal {G}}$ 的一個子覆蓋。因此，它是 $K$ 的一個有限子覆蓋。
  

• 豪斯多夫空間的每個緊子集都是閉集。
  證明:
  設 $K$ 為緊緻集合。如果補集 $K^{c}$ 為空集，則 $K$ 與空間相同，因此是閉集。假設不是這樣，也就是說，存在一點 $x\in K^{c}$。然後對於每個 $y\in K$，根據豪斯多夫分離公理，我們可以找到 $U_{y}$ 和 $V_{y}$ 不相交的開集，使得 $x\in U_{y}$ 和 $y\in V_{y}$。由於 $K$ 是緊緻的，並且集合 $\{V_{y};y\in K\}$ 覆蓋了 $K$，我們可以找到有限個點 $y_{1},y_{2},...y_{n}$ 在 $K$ 中，使得
  $K\subseteq V_{y_{1}}\cup V_{y_{2}}\cup \ldots \cup V_{y_{n}}$
  由此得出
  $x\in U_{y_{1}}\cap U_{y_{2}}\cap \ldots \cap U_{y_{n}}=U_{x}$。因此，每個 $x\in X$ 都有一個開鄰域 $U_{x}$。
  因為 $K^{c}$ 可以表示為開集的並集 $U_{x}$，$K^{c}$ 是開集，而 $K$ 是閉集。

• 度量空間中的每個緊集都是有界的。
  證明:
  令 $X$ 為度量空間，並令 $K\subset X$ 為緊集。
  考慮開球的集合 ${\mathcal {G}}=\{B_{r}(p)|r\in \mathbb {R} ^{+}\}$，其中 $p\in X$ 為某個（固定的）點。我們可以看到 ${\mathcal {G}}$ 是 $K$ 的一個開覆蓋。由於 $K$ 是緊集，它有一個有限子覆蓋，例如 $\{B_{r_{1}}(p),B_{r_{2}}(p),\ldots ,B_{r_{n}}(p)\}$。令 $r_{0}=\sup\{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\}$。我們可以看到 $K\subset B_{r_{0}}(p)$，因此，$K$ 是有界的。

• 海涅-博雷爾定理：對於任何區間 $[a,b]$，以及該區間的任何開覆蓋 ${\mathcal {G}}$，都存在 ${\mathcal {G}}$ 的有限子覆蓋。
  證明:
  令 $S$ 為所有滿足 $a\leq x\leq b$ 且 $[a,x]$ 存在 ${\mathcal {G}}$ 的有限子覆蓋的 x 值的集合。 $S$ 非空，因為 $a$ 屬於該集合。定義 $c=\sup S$。
  假設如果可能，$c<b$。那麼在${\mathcal {G}}$ 記憶體在一個關於 $[a,c]$ 的有限覆蓋。$c$ 在覆蓋 ${\mathcal {G}}$ 中的集合 $A$ 內。因此，存在一個$\varepsilon >0$ 使得 $(c-\varepsilon ,c+\varepsilon )\subseteq A$。那麼 $c+{\tfrac {\varepsilon }{2}}$ 也在 $S$ 內，與 $c$ 的定義相矛盾。因此，$c\geq b$。因此，${\mathcal {G}}$ 有一個有限子覆蓋。

關於“海涅-博雷爾定理”的具體內容，不同的資料來源存在差異。似乎埃米爾·博雷爾 證明了最相關的結果，涉及歐幾里得空間的緊緻子集。但是，我們提供了一個更簡單的實數情況。

• 設$X,Y$ 是拓撲空間。如果$f:X\to Y$ 是連續的，且$A\subset X$ 是緊緻的，那麼 $A$ 的像，$f(A)$，是緊緻的。
  證明
  令 ${\mathcal {G}}$ 為 $f(A)$ 的任意開覆蓋。考慮逆對映 $\{f^{-1}(B)\}$，其中 $B\in {\mathcal {G}}$。因為 $f$ 是連續的，所以這些逆對映是開的。它們覆蓋了 $A$，因此存在 $A$ 的一個有限子覆蓋，記為 $\{B_{i}\}$。那麼它們的像 $\{f(B_{i})\}$ 是 $f(A)$ 的有限子覆蓋。

• 如果一個集合是緊緻的並且是豪斯多夫空間，那麼它就是正規的。
  證明
  令 $X$ 為緊緻的 Hausdorff 空間。考慮兩個閉子集 $A$ 和 $B$，根據上面定理 1，它們本身是緊緻的。對於每一個 $a\in A$ 和 $b\in B$，存在兩個不相交的集合 $O_{a,b,1}$ 和 $O_{a,b,2}$ 使得 $a\in O_{a,b,1}$ 且 $b\in O_{a,b,2}$。對於固定的 $a$，所有這些 $O_{a,b,2}$ 的並集是 $B$ 的一個覆蓋，因此它有一個有限的子覆蓋，比如說，${\mathcal {O}}_{a,2}$，並令 $O'_{a,2}$ 為其所有成員的並集。
  設 $B_{a}=\{b|O_{a,b,2}\in {\mathcal {O}}_{a,2}\}$，並設 $O_{a,1}=\displaystyle \bigcap _{b\in B_{a}}O_{a,b,1}$。注意到 $B_{a}$ 是有限集，因此 $O_{a,1}$ 是開集。並集 $\displaystyle \bigcup _{a\in A}O_{a,1}$ 覆蓋了 $A$，因此它有一個有限的子覆蓋 ${\mathcal {O}}_{a,1}$。設 $U$ 為該子覆蓋中所有成員的並集。
  設 $A'$ 表示所有元素 $a\in A$ 的集合，滿足 $O_{a,1}\in {\mathcal {O}}_{a,1}$。取交集 $V=\displaystyle \bigcap _{a\in A'}O'_{a,2}$，它是開集。
  然後 $U$ 是 $A$ 的一個開超集，$V$ 是 $B$ 的一個開超集，並且它們是不相交的。因此，$X$ 是正規的。

• 在一個緊緻的度量空間 X 中，從 X 到 Y 的函式是均勻連續的當且僅當它是連續的。
  證明
  

• 如果兩個拓撲空間是緊緻的，那麼它們的乘積空間也是緊緻的。
  證明
  設 X₁ 和 X₂ 是兩個緊緻空間。設 S 是 X₁×X₂ 的一個覆蓋。設 x 是 X₁ 中的一個元素。考慮 S 中包含 (x,y) 的集合 A_x,y，對於 X₂ 中的每一個 y。 $\pi _{2}:(A_{(}x,y))$ 構成 X₂ 的一個覆蓋，並且有一個有限子覆蓋 {A_x,yi}。設 B_x 為 $\pi _{1}:(A_{y})$ 在 {A_yi} 中的交集，它是開的。因此，{B_x} 構成一個開覆蓋，並且有一個有限子覆蓋 {B_xi}。相應的集合 {A_xi,yi} 是有限的，並且構成該集合的一個開子覆蓋。

• 歐幾里得空間中所有閉且有界的集合都是緊緻的。
  證明
  設 S 是 $R^{n}$ 中的任何有界閉集。然後，由於 S 是有界的，它包含在 R 的閉區間乘積的一些“盒子”中。由於這些閉區間是緊緻的，它們的乘積也是緊緻的。因此，S 是緊緻集合中的閉集，因此它也是緊緻的。

蒂霍諾夫定理

關於乘積空間緊緻性的更一般的結果被稱為蒂霍諾夫定理。然而，與兩個空間的乘積的緊緻性不同，蒂霍諾夫定理需要佐恩引理。（事實上，它等價於選擇公理。）

定理：設 $X=\prod _{i\in I}X_{i}$，並且設每個 $X_{i}$ 都是緊緻的。那麼 X 也是緊緻的。

證明：證明基於 網。回顧以下事實

引理 1 - $\prod _{i\in I}X_{i}$ 中的網 $(x_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 收斂於 $x\in \prod _{i\in I}X_{i}$ 當且僅當每個座標 $(x_{\alpha }^{i})_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 收斂於 $x^{i}\in X_{i}$。

引理 2 - 拓撲空間 $X$ 是緊緻的當且僅當 $X$ 中的每個網都有一個收斂子網。

引理 3 - 每個網都有一個普遍子網。

引理 4 - 緊緻空間 $X$ 中的普遍網 $(x_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 是收斂的。

我們現在證明蒂霍諾夫定理。

令 $(x_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 是 $\prod _{i\in I}X_{i}$ 中的一個網。

利用引理 3，我們可以找到 $(x_{\alpha })_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ 的一個泛網 $(y_{\beta })_{\beta \in {\mathcal {B}}}$。

很容易看出每個座標網 $(y_{\beta }^{i})_{\beta \in {\mathcal {B}}}$ 都是 $X_{i}$ 中的一個泛網。

利用引理 4，我們看到每個座標網都收斂，因為 $X_{i}$ 是緊緻的。

利用引理 1，我們看到整個網 $(y_{\beta })_{\beta \in {\mathcal {B}}}$ 在 $\prod _{i\in I}X_{i}$ 中收斂。

我們得出結論，$\prod _{i\in I}X_{i}$ 中的每個網都有一個收斂子網，因此根據引理 2，$\prod _{i\in I}X_{i}$ 必須是緊緻的。 $\square$

相對緊緻性

相對緊緻性是另一個有趣的性質。

定義：拓撲空間 X 的一個子集 S，當它的閉包 Cl(x) 是緊緻的時候，我們稱之為相對緊緻的。

注意，相對緊緻性不適用於拓撲子空間。例如，開區間 (0,1) 在具有通常拓撲的 R 中是相對緊緻的，但它本身不是相對緊緻的。

區域性緊緻性

區域性緊緻性的概念基於相對緊緻性的概念。

如果在拓撲空間 X 中，每個元素都具有一個相對緊緻的鄰域，那麼 X 是**區域性緊緻的**。

可以證明所有緊緻集都是區域性緊緻的，但反之則不然。

練習

1. 對於度量空間，閉合有界集不一定總是緊緻的。考慮一個集合 X 上的以下度量

$d(x,y)={\begin{cases}1&{\rm {if}}\,x\neq y\\0&{\rm {if}}\,x=y\end{cases}}$

a) 證明這是一種度量。

b) X 的哪些子空間是緊緻的。

c) 證明如果 Y 是 X 的子空間並且 Y 是緊緻的，則 Y 是閉合的且有界的。

d) 證明對於任何度量空間，緊緻集始終是閉合的且有界的。

e) 證明對於這種特殊的度量，閉合的且有界的集合不一定是緊緻的。