拓撲/路徑連通性

定義

拓撲空間 $X$ 被稱為路徑連通，如果對於任意兩點 $x_{0},x_{1}\in X$ 存在一個連續函式 $f:[0,1]\to X$ 使得 $f(0)=x_{0}$ 且 $f(1)=x_{1}$

示例

1. 向量空間中的所有凸集都是連通的，因為可以使用連線它們的線段，即 $f(t)=t{\vec {a}}+(1-t){\vec {b}}$。
2. 由頂點 $[0,0],[1,0],[0,1],[1,1]$ 定義的單位正方形是路徑連通的。給定兩點 $(a_{0},b_{0}),(a_{1},b_{1})\in [0,1]\times [0,1]$，這些點由函式 $f(t)=[(1-t)a_{0}+ta_{1},(1-t)b_{0}+tb_{1}]$ 連線，對於 $t\in [0,1]$。
   前面的例子在任何凸空間中都適用（事實上它幾乎是凸空間的定義）。

相鄰路徑

設 $X$ 為拓撲空間，並設 $a,b,c\in X$。考慮兩個連續函式 $f_{1},f_{2}:[0,1]\to X$，使得 $f_{1}(0)=a$，$f_{1}(1)=b=f_{2}(0)$ 且 $f_{2}(1)=c$。那麼由以下公式定義的函式

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}f_{1}(2x)&{\text{if }}x\in [0,{\frac {1}{2}}]\\f_{2}(2x-1)&{\text{if }}x\in [{\frac {1}{2}},1]\\\end{array}}\right.$

是一個從 $a$ 到 $c$ 的連續路徑。因此，從 $a$ 到 $b$ 的路徑和從 $b$ 到 $c$ 的路徑可以連線起來形成從 $a$ 到 $c$ 的路徑。

與連通性的關係

每個路徑連通空間 $X$ 也是連通的。這可以透過以下方式看到

假設 $X$ 不連通。那麼 $X$ 是兩個開集 $A$ 和 $B$ 的不相交併。令 $a\in A$ 且 $b\in B$。那麼，存在從 $a$ 到 $b$ 的路徑 $f$，即，$f:[0,1]\rightarrow X$ 是一個連續函式，且 $f(0)=a$ 以及 $f(1)=b$。但這樣一來，$f^{-1}(A)$ 和 $f^{-1}(B)$ 是 $[0,1]$ 中的不相交開集，覆蓋了單位區間。這與單位區間連通的事實相矛盾。

練習

1. 證明集合 $A=\{(x,f(x))|x\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {R} ^{2}$，其中 $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}0&{\text{if }}x\leq 0\\\sin({\frac {1}{x}})&{\text{if }}x>0\\\end{array}}\right.$
   是連通的，但不是路徑連通的。