拓撲/連通性

動機

為了最好地描述什麼是連通空間，我們先來描述什麼是斷開空間。斷開空間是指可以被分成兩個不相交組的空間，或者更正式地說

一個空間 $(X,{\mathcal {T}})$ 被稱為斷開 當且僅當 存在一對不相交的非空開子集 $X_{1},X_{2}$，使得 $X=X_{1}\cup X_{2}$.

一個不是斷開空間的空間 $X$ 被稱為連通空間.

示例

1. 閉區間 $[a,b]$ 是連通的。為了證明這一點，假設它是斷開的。那麼存在兩個非空的、不相交的開集 $A$ 和 $B$，它們的並集是 $[a,b]$。令 $X$ 為等於 $A$ 或 $B$ 的集合，並且不包含 $b$。令 $s=\sup X$。由於 X 不包含 b，s 必須在區間 [a,b] 內，因此必須在 X 或 $[a,b]\setminus X$ 內。如果 $s$ 在 $X$ 內，那麼在 $X$ 記憶體在一個開集 $(s-\varepsilon ,s+\varepsilon )$。如果 $s$ 不在 $X$ 內，那麼 $s$ 在 $[a,b]\setminus X$ 內，它也是一個開集，並且存在一個開集 $(s-\varepsilon ,s+\varepsilon )$ 在 $[a,b]\setminus X$ 內。兩種情況都意味著 $s$ 不是上確界。
2. 拓撲空間 $X=(0,1)\setminus \{{\frac {1}{2}}\}$ 是不連通的：$A=(0,{\frac {1}{2}}),B=({\frac {1}{2}},1)$
   圖示
   
   
   如你所見，連通空間的定義非常直觀；當該空間無法被分割成（至少）兩個不同的子空間時。

定義

定義 1.1

拓撲空間 $X$ 的子集 $U$ 被稱為 **閉開集**，如果它既是閉集又是開集。

定義 1.2

如果拓撲空間 X 的每個具有超過一個點的子集在子空間拓撲下都是不連通的，那麼該拓撲空間 X 被稱為 **完全不連通**。

關於連通性的定理

如果 $X$ 和 $Y$ 是同胚空間，並且如果 $X$ 是連通的，那麼 $Y$ 也是連通的。

證明:
令 $X$ 為連通的，並且令 $f$ 為一個同胚。假設 $Y$ 是不連通的。那麼存在兩個非空的互不相交的開集 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$，它們的並集為 $Y$。由於 $f$ 是連續的，$f^{-1}(Y_{1})$ 和 $f^{-1}(Y_{2})$ 是開的。由於 $f$ 是滿射的，它們是非空的，並且它們是不相交的，因為 $Y_{1}$ 和 $Y_{2}$ 是不相交的。此外，$f^{-1}(Y_{1})\cup f^{-1}(Y_{2})=f^{-1}(Y)=X$，這與 $X$ 是連通的這一事實相矛盾。因此，$Y=f(X)$ 是連通的。
注意：這表明連通性是一個拓撲性質。

如果兩個連通集有一個非空的交集，那麼它們的並集是連通的。

證明:
令 $A$ 和 $B$ 為兩個非不相交的連通集。令 $X$ 和 $Y$ 為非空的開集，使得 $X\cup Y=A\cup B$。令 $a_{0}\in A$.
不失一般性，假設 $a_{0}\in X$.

由於 $A$ 是連通的，$a\in X\forall a\in A$ ...(1).

由於 $Y$ 非空，存在 $\exists b\in B$ 使得 $b\in Y$.

因此，類似地，$b\in Y\forall b\in B$ ...(2)
現在，考慮 $c\in A\cap B$。根據 (1) 和 (2)，$c\in X\cap Y$，因此 $X\cap Y\neq \emptyset$。由於 $X,Y\in {\mathcal {T}}$ 是任意的，$A\cup B$ 是連通的。

如果兩個拓撲空間是連通的，那麼它們的積空間也是連通的。

證明
設 X₁ 和 X₂ 是兩個連通空間。假設存在兩個非空的、不相交的開集 A 和 B，它們的並集是 X₁×X₂。如果對於每個 x∈X，{x}×X₂ 或者完全包含在 A 中，或者完全包含在 B 中，那麼 π₁(A) 和 π₁(B) 也是開的，因此它們是不相交的、非空的，它們的並集是 X₁，這與 X₁ 是連通的這一事實相矛盾。因此，存在 x∈X 使得 {x}×X₂ 包含 A 和 B 的元素。然後，π₂(A∩{(x,y)}) 和 π₂(B∩{(x,y)})，其中 y 是 X₂ 中的任意元素，是非空的、不相交的集合，它們的並集是 X₂，它們是 {(x,y)} 中的開集的並集（根據乘積拓撲的定義），因此是開的。這意味著 X₂ 是不連通的，這與事實相矛盾。因此，X₁×X₂ 是連通的。

練習

1. 證明一個拓撲空間 $X$ 是不連通的，當且僅當它除了 $\emptyset$ 和 $X$ 之外，還有閉開集（提示：為什麼 $X_{1}$ 是閉開的？）。
2. 證明，如果 $f:X\to Y$ 是連續的、滿射的（不一定同胚），並且如果 $X$ 是連通的，那麼 $Y$ 是連通的。
3. 證明中間值定理：如果$f:[a,b]\to \mathbb {R}$ 是連續的，那麼對於任何位於$f(a)$ 和$f(b)$ 之間的$y$，存在一個$c\in [a,b]$ 使得$f(c)=y$.
4. 證明$\mathbb {R}$ 不同構於$\mathbb {R} ^{2}$（提示：從$\mathbb {R}$ 中移除一個點會使其不連通）。
5. 證明一個具有可數補集拓撲的不可數集是連通的（數學家稱此空間為“超連通”）。
6. a) 證明集合 X 上的離散拓撲是完全不連通的。
   
   b) a) 的逆命題是否成立（提示：即使 X 的子集上的子空間拓撲是離散拓撲，也不一定意味著該集合具有離散拓撲）