拓撲/分離公理

拓撲空間的分離公理

空間上的拓撲是稱為開放的子集的集合。然後我們可以問諸如“我們可以透過將它們封閉在兩個不相交的開集中來分離空間中的任意兩個不同點嗎？”對於具有其通常拓撲的實數線，答案顯然是肯定的，但是有一些空間對此並非如此。事實證明，人們可能認為理所當然的連續對映的許多屬性實際上取決於以下列出條件之一是否成立。根據哪些稱為分離公理的條件成立，拓撲空間被分類。

設 $(X,{\mathcal {T}})$ 為拓撲空間，設x,y為該空間中任意兩個不同點。以下條件按從最不嚴格到最嚴格的順序排列，是我們可能希望對$(X,{\mathcal {T}})$施加的條件。

T₀

對於每個x, y，都存在一個包含該對中一個點的開集O，但不包含另一個點。

T₁

對於每個x, y，都存在開集 $O_{1}$ 和 $O_{2}$，使得 $O_{1}$ 包含x但不包含y，而 $O_{2}$ 包含y但不包含x。

T₂

對於每個x, y，都存在不相交的開集 $O_{1}$ 和 $O_{2}$，使得 $O_{1}$ 包含x，而 $O_{2}$ 包含y。 $T_{2}$ 空間也稱為豪斯多夫空間。

T_2½

對於每個x, y，都存在不相交的閉鄰域 $O_{1}$ 和 $O_{2}$ 分別包含x 和y。

正則

如果C是一個閉集，並且z是一個不在C中的點，則存在不相交的開集$O_{1}$和$O_{2}$，使得$O_{1}$包含C，而$O_{2}$包含z。一個既是正則的又是$T_{1}$的拓撲空間被稱為T₃。

完全正則

如果C是一個閉集，並且z是一個不在C中的點，則存在一個連續函式$f:X\rightarrow [0,1]$，使得f(z)=0，並且對於任何$w\in C$，我們有f(w)=1（即f(C)={1}）。一個既是完全正則的又是$T_{1}$的拓撲空間被稱為T_3½。

正規

如果$C_{1}$和$C_{2}$是不相交的閉集，則存在不相交的開集$O_{1}$和$O_{2}$，使得$O_{1}$包含$C_{1}$，而$O_{2}$包含$C_{2}$。一個既是正規的又是$T_{1}$的拓撲空間被稱為T₄。

完全正規

令 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 是 *分離集*，意思是 $\mathrm {Cl} (A)\cap B=A\cap \mathrm {Cl} (B)=\emptyset$。 那麼存在不相交的開集 $O_{1}$ 和 $O_{2}$，使得 $O_{1}$ 包含 $C_{1}$ 且 $O_{2}$ 包含 $C_{2}$。 一個既是完全正規的又是 $T_{1}$ 的拓撲空間被稱為 T₅。

完全正規

如果 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 是不相交的閉集，則存在一個連續函式 $f:X\rightarrow [0,1]$ 使得 $f^{-1}(\{0\})=C_{1}$ 且 $f^{-1}(\{1\})=C_{2}$。 一個既是完全正規的又是 $T_{1}$ 的拓撲空間被稱為 T₆。

注意：許多作者將正規、完全正規、正常、完全正常和完美正常空間視為對應 *T_i* 屬性的同義詞。

分離性質之間的關係

*T_i* 分離性質（公理）形成一個層次結構，如果 *i>j*，則性質 *T_i* 意味著性質 *T_j*。當性質 *T_i+1* 意味著 *T_x*，而 *T_x* 又意味著 *T_i*，並且 *T_x* 是在 *T_i* 和 *T_i+1* 之後提出的，*T_x* 被指定為 *T_i½*。這些性質的其他含義包括

• 即使沒有假設 *T₁*，完全正規也總是意味著正規；
• *T₀* 獨自就足以使一個正規空間成為 *T₃*。不需要完整的 *T₁* 屬性；
• 完美正規意味著完全正規，而完全正規又意味著正規；
• 一個拓撲空間是完全正規的，當且僅當每個子空間都是正規的。

練習

1. 假設拓撲空間$X$是$T_{1}$。給定$x\in X$，證明$X\setminus \{x\}$是開集，從而得出$\{x\}$是閉集。
2. 給定拓撲空間$X$，並且給定對所有$x\in X$，$\{x\}$是閉集，證明$X$是$T_{1}$。

一些重要定理

定理 3.1.2

令$X$為$T_{2}$空間，並令$s_{n}$為$X$中的一個序列。則$s_{n}$要麼在$X$中不收斂，要麼收斂於唯一的極限。

證明
假設$s_{n}$收斂於兩個不同的值$x$和$y$。

由於 $X$ 是 $T_{2}$，存在不相交的開集 $U$ 和 $V$，使得 $x\in U$ 且 $y\in V$.

現在根據收斂的定義，存在一個整數 $M$，使得 $n\geq M$ 意味著 $s_{n}\in U$。類似地，存在一個整數 $N$，使得 $n\geq N$ 意味著 $s_{n}\in V$.

取一個整數 $K$，它大於 $M$ 和 $N$，使得 $s_{K}$ 同時屬於 $U$ 和 $V$，這與這兩個集合是不交集的事實相矛盾。因此，$s_{n}$ 無法同時收斂於 $x$ 和 $y$。 $\square$

定理 3.1.3

如果 $X$ 是一個度量空間，那麼 $X$ 是正規的。

證明

對於任何 $A\subset X$ 和任何點 $x\in X$，定義 $x$ 到 $A$ 的距離 $d(x,A)$ 為 $d(x,A):=\inf\{d(x,a)|a\in A\}$，其中 $d(x,a)$ 是度量空間定義中給出的距離函式。觀察到 $x\mapsto d(x,A)$ 是連續的。

修復閉合、不相交的子集 $A,B$ 的 $X$，並定義 $f:X\rightarrow [-1,1]$ 為 $f(x):={\frac {d(x,B)-d(x,A)}{d(x,A)+d(x,B)}}.$ （注意 $f$ 是良定義的，因為對於任何 $S\subset X$，我們有 $d(x,S)=0$ 當且僅當 $x$ 在 $S$ 的閉包中。）觀察 $f$ 在 $A$ 上為 1，在 $B$ 上為 -1，在其他地方位於開區間 $(-1,1)$ 中。此外，$f$ 由 $x\mapsto d(x,A)$ 的連續性而連續。因此，$f^{-1}([-1,-1/2))\supset B$ 和 $f^{-1}((1/2,1])\supset A$ 是開集的原像（即在 $[-1,1]$ 中是開集），因此是開集，並且它們作為不相交集的原像是互不相交的。

定理 3.1.4

如果 $X$ 是一個度量空間，那麼 $X$ 是豪斯多夫空間。
證明
令 $x$ 和 $y$ 是兩個不同的點，並令 $d={\tfrac {d(x,y)}{3}}$。那麼 $B_{d}(x)$ 和 $B_{d}(y)$ 是不相交的開集，因為如果存在一個點 $z$ 同時在這兩個開球中，那麼 $d(x,y)\leq d(x,z)+d(x,z)<{\tfrac {2}{3}}d(x,y)$，這與假設矛盾。

烏雷松引理

拓撲空間 $X$ 是正規的當且僅當對於任何不相交的閉集 $C_{1}$ 和 $C_{2}$，存在一個連續函式 $f:X\rightarrow [0,1]$，使得 $f(C_{1})=\{0\}$ 和 $f(C_{2})=\{1\}$。

證明
為了證明烏雷松引理，我們首先證明以下結果

令 X 為一個拓撲空間。X 是正規的當且僅當對於每個閉集 U 和包含 U 的開集 V，存在一個包含 U 的開集 S，其閉包在 V 內。

假設 X 是正規的。如果 V 等於 X，則 X 是一個包含 U 的集合，其閉包在 V 內。否則，V 的補集是一個非空的閉集，它與 U 不相交。因此，根據 X 的正規性，存在兩個不相交的開集 A 和 B，其中 A 包含 U 且 B 包含 V 的補集。A 的閉包不與 B 相交，因為 B 中的所有點都有一個完全在 B 內的鄰域，因此不與 A 相交（因為它們不相交），所以 B 中的所有點都不在 A 的閉包內。因此，集合 A 是一個包含 U 的集合，其閉包不與 B 相交，因此不與 V 的補集相交，因此完全包含在 V 內。相反地，取任何兩個不相交的閉集 U 和 V。V 的補集是一個包含閉集 U 的開集。因此，存在一個包含 U 的集合 $S_{1}$，其閉包在 V 的補集內，這與與 V 不相交是相同的。然後 V 的補集是一個包含閉集 Cl($S_{1}$) 的開集。因此，存在一個包含 $S_{1}$ 的集合 $S_{2}$，使得 Cl($S_{2}$) 在 V 的補集內，即與 V 不相交。然後 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ 的補集是分別包含 U 和 V 的開集，它們不相交。

現在我們證明烏雷松引理。

設 X 為一個正規空間，U 和 V 為兩個閉集。設 $U_{0}$ 為 U，設 $U_{1}$ 為 X。

設 $U_{\frac {1}{2}}$ 為一個包含 U_0 的集合，其閉包包含在 $U_{1}$ 內。一般來說，歸納地定義對於所有自然數 n 和所有自然數 $a<2^{n-1}$

$U_{\frac {2a+1}{2^{n}}}$ 為一個包含 $U_{\frac {a}{2^{n-1}}}$ 的集合，其閉包包含在 $U_{\frac {a+1}{2^{n-1}}}$ 的補集內。這定義了 $U_{p}$，其中 p 是區間 [0,1] 內可表示為 ${\frac {a}{2^{n}}}$ 的有理數，其中 a 和 n 是整數。

現在定義函式 $f:X\rightarrow$ [0,1] 為 f(p)=inf{x|$p\in U_{x}$}。

考慮正規空間 X 中的任意元素 x，以及圍繞 f(x) 的任意開區間 (a,b)。在該開區間記憶體在可以表示為 ${\frac {p}{2^{n}}}$ 的有理數 c 和 d，其中 p 和 n 是整數，使得 c<f(x)<d。如果 c<0，則將其替換為 0；如果 d>1，則將其替換為 1。然後，集合 $U_{c}$ 的補集和集合 $U_{d}$ 的交集是 f(x) 的一個開鄰域，其影像位於 (a,b) 內，證明了該函式是連續的。

反之，假設對於任意兩個不相交的閉集，存在從 X 到 [0,1] 的連續函式 f，使得當 x 是 U 的元素時 f(x)=0，當 x 是 V 的元素時 f(x)=1。那麼由於不相交的集合 [0,.5) 和 (.5,1] 是開集，並且在子空間拓撲下，逆集 $f^{-1}([0,.5))$（包含 X）和 $f^{-1}((.5,1])$（包含 Y）也是開集且不相交。

練習

構建一系列空間很有指導意義，使得每個成員屬於一個類別，但不屬於下一個類別。

• 離散拓撲不是 $T_{0}$。
• 如果 $X$ 是單位區間 $[0,1]$，並且 ${\mathcal {T}}=\{[0,x)|x\in [0,1]\}$，那麼該空間是 $T_{0}$ 但不是 $T_{1}$。
• 考慮任意無限集 $X$。令 $X$ 和每個有限子集都是閉集，並稱開集為 $\Omega$。判斷 $(X,\Omega )$ 是否是一個拓撲空間，它滿足 $T_{1}$ 分離公理，但不滿足 $T_{2}$ 分離公理。提示：考慮任何兩個非空開集的交集。

驗證

• $T_{1}$ 蘊含 $T_{0}$
• $T_{2}$ 蘊含 $T_{1}$
• $T_{3}$ 蘊含 $T_{2}$（提示：使用定理 3.1.1）