拓撲/連續性與同胚

連續性

連續性是拓撲學的核心概念。本質上，拓撲空間具有允許定義連續性的最小必要結構。幾乎任何其他語境中的連續性都可以透過適當的拓撲選擇簡化為這個定義。

定義

令 $X,Y$ 是拓撲空間。

一個函式 $f:X\to Y$ 在 $x\in X$ 處連續當且僅當對於 $f(x)$ 的所有開鄰域 $B$，都存在 $x$ 的一個鄰域 $A$，使得 $A\subseteq f^{-1}(B)$。
一個函式 $f:X\to Y$ 在一個集合 $S$ 中連續當且僅當它在 $S$ 中的所有點處連續。

函式 $f:X\to Y$ 被稱為在 $X$ 上連續當且僅當它在其定義域的所有點處連續。

$f:X\to Y$ 連續當且僅當對於所有在 $Y$ 中的開集 $B$，它的逆像 $f^{-1}(B)$ 也是一個開集。
證明
($\Rightarrow$)
函式 $f:X\to Y$ 是連續的。令 $B$ 是 $Y$ 中的一個開集。因為它是連續的，所以對於所有 $x$ 屬於 $f^{-1}(B)$，存在一個鄰域 $x\in A\subseteq f^{-1}(B)$，因為 B 是 f(x) 的一個開鄰域。這意味著 $f^{-1}(B)$ 是開的。
($\Leftarrow$)
對於函式 $f$ 在 $Y$ 中的任何開集的逆像在 $X$ 中也是開的。令 $x$ 是 $X$ 中的任意元素。則 $f(x)$ 的任何鄰域 $B$ 的逆像 $f^{-1}(B)$ 也會是開的。因此，存在一個 $x$ 的開鄰域 $A$ 包含於 $f^{-1}(B)$。因此，該函式是連續的。

如果兩個函式是連續的，那麼它們的複合函式也是連續的。這是因為如果 $f$ 和 $g$ 的反函式將開集對映到開集，那麼反函式 $g^{-1}(f^{-1}(x))$ 也將開集對映到開集。

例子

• 設 $X$ 具有離散拓撲。那麼對於 $Y$ 上的任何拓撲，對映 $f:X\rightarrow Y$ 是連續的。
• 設 $X$ 具有平凡拓撲。那麼對於 $Y$ 上的任何拓撲，常數對映 $g:X\rightarrow Y$ 是連續的。

同胚

當兩個拓撲空間之間存在同胚時，從拓撲學的角度來說，它們是“本質上相同的”。

定義

設 $X,Y$ 是拓撲空間
一個函式 $f:X\to Y$ 被稱為同胚當且僅當

(i) $f$ 是雙射
(ii) $f$ 在 $X$ 上是連續的
(iii)$f^{-1}$ 在 $Y$ 上是連續的

如果兩個空間之間存在同胚，那麼這兩個空間被稱為同胚

如果一個空間 $X$ 的性質適用於所有與 $X$ 同胚的空間，則稱該性質為拓撲性質。

說明

1. 一個對映可以是雙射且連續的，但不是同胚對映。考慮雙射對映 $f:[0,1)\rightarrow S^{1}$，其中 $f(x)=e^{2\pi ix}$ 將域中的點對映到平面上的單位圓。這不是同胚對映，因為在域中存在不是在 $S^{1}$ 中開放的開放集，例如集合 $\left[0,{\frac {1}{2}}\right)$。
   
2. 同胚是等價關係

練習

1. 證明開區間 $(a,b)$ 與 $\mathbb {R}$ 同胚。
2. 證明同胚在拓撲空間上是等價關係。
3. (i)構造一個雙射 $f:[0,1]\to [0,1]^{2}$
   (ii)確定該 $f$ 是否是同胚對映。