拓撲/商空間

商拓撲不是對分析中任何研究物件的自然推廣，但它很容易理解。一種動機來自幾何學。例如，圓環可以透過取一個矩形並將邊粘合在一起來構造。

定義：商對映

令 $X$ 和 $Y$ 是拓撲空間；令 $f:X\rightarrow Y$ 是一個滿射對映。對映 f 被稱為 商對映 當且僅當 $U\subseteq Y$ 在 Y 中是開集，當且僅當 $f^{-1}(U)$ 在 X 中是開集。

定義：商對映的另一種形式

還有一種描述商對映的方法。一個子集 $C\subset X$ 是 飽和集 （關於滿射對映 $f:X\rightarrow Y$）如果 C 包含它所交的每個集合 $f^{-1}(\{y\})$。說 f 是一個商對映等價於說 f 是連續的，並且 f 將 X 的飽和開集對映到 Y 的開集。同樣地，對於閉集也是如此。

有兩種特殊的商對映型別： 開對映 和 閉對映 。

如果對於每個在 X 中的開集 $U\subseteq X$，集合 $f(U)$ 在 Y 中是開的，則稱對映 $f:X\rightarrow Y$ 是一個 開對映 。如果對於每個閉集 $A\subseteq X$，集合 $f(A)$ 在 Y 中是閉的，則稱對映 $f:X\rightarrow Y$ 是一個 閉對映 。由定義可知，如果 $f:X\rightarrow Y$ 是一個滿射連續對映，並且是開對映或閉對映，那麼 f 是一個商對映。

定義：商拓撲

如果 X 是一個拓撲空間， A 是一個集合，並且如果 $f:X\rightarrow A$ 是一個滿射對映，那麼在 A 上存在唯一的拓撲 $\tau$ 使得 f 是一個商對映；它被稱為 f 誘導的 商拓撲 。

定義：商空間

設 X 是一個拓撲空間，設 $X^{*}$ 是 X 的一個劃分，它將 X 劃分為不相交的子集，這些子集的並集是 X 。設 $f:X\rightarrow X^{*}$ 是將每個 $x\in X$ 對映到包含它的 $X^{*}$ 元素的滿射對映。在 f 誘導的商拓撲中，空間 $X^{*}$ 被稱為 X 的 商空間 。

定理

設 $f:X\rightarrow Y$ 是一個商對映；設 A 是 X 的一個子空間，它關於 f 是飽和的；設 $g:A\rightarrow f(A)$ 是透過限制 f 獲得的對映，那麼 g 是一個商對映。

1.) 如果 A 在 X 中是開集或閉集。

2.) 如果 f 是一個開對映或閉對映。

證明：我們需要證明
$f^{-1}(V)=g^{-1}(V)$ 當 V $\subset f(A)$

以及

$f(U\cap A)=f(U)\cap f(A)$ 當 $U\subset X$.

由於 $V\subset f(A)$ 且 A 是飽和的，$f^{-1}(V)\subset A$。因此，$f^{-1}(V)$ 和 $g^{-1}(V)$ 都等於 A 中所有被 f 對映到 V 的點。對於第二個等式，對於任何兩個子集 U 和 $A\subset X$

$f(U\cap A)\subset f(U)\cap f(A).$

反之，假設 $y=f(u)=f(a)$ 當 $u\in U$ 且 $a\in A$。由於 A 是飽和的，$A\subset f^{-1}(f(a))$，因此特別地 $A\subset u$。然後 $y=f(u)$ 其中 $u\in U\cap A$.

假設 A 或 f 是開集。由於 $V\subset f(A)$，假設 $g^{-1}(V)$ 在 $A$ 中是開集，並證明 V 在 $f(A)$ 中是開集。

首先，假設 *A* 是開集。由於 $g^{-1}(V)$ 在 *A* 中是開集，並且 *A* 在 *X* 中是開集，因此 $g^{-1}(V)$ 在 *X* 中是開集。由於 $f^{-1}(V)=g^{-1}(V)$，因此 $f^{-1}(V)$ 在 *X* 中是開集。*V* 在 *Y* 中是開集，因為 *f* 是商對映。

現在假設 *f* 是開集。由於 $g^{-1}(V)=f^{-1}(V)$ 並且 $g^{-1}(V)$ 在 A 中是開集，那麼 $f^{-1}(V)=U\cap A$，其中 *U* 是 *X* 中的開集。現在 $f(f^{-1}(V))=V$，因為 *f* 是滿射；所以

$V=f(f^{-1}(V))=f(U\cap A)=f(U)\cap f(A).$

集合 $f(U)$ 在 *Y* 中是開集，因為 *f* 是開對映；因此 *V* 在 $f(A)$ 中是開集。關於閉集 *A* 或閉對映 *f* 的證明留給讀者。