拓撲/乘積空間

開始之前

我們在這裡快速回顧一下集合論中的笛卡爾積概念。這個定義可能比你習慣的稍微更廣義一點。

笛卡爾積

定義

令 $\Lambda$ 為一個索引集，並令 $X_{\lambda }$ 為每個 $\lambda \in \Lambda$ 的一個集合。每個 $X_{\lambda }$ 的笛卡爾積是

$\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\{x:\Lambda \rightarrow \bigcup _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }|x(\lambda )\in X_{\lambda }\}$.

示例

令 $\Lambda =\mathbb {N}$ 且 $X_{\lambda }=\mathbb {R}$ 對於每個 $n\in \mathbb {N}$。然後

$\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }=\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }=\{x:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} \mid x(n)\in \mathbb {R} \,\forall \,n\in \mathbb {N} \}=\{(x_{1},x_{2},\ldots )\mid x_{n}\in \mathbb {R} \,\forall \,n\in \mathbb {N} \}$.

乘積拓撲

利用笛卡爾積，我們可以定義拓撲空間的乘積。

定義

令 $X_{\lambda }$ 為一個拓撲空間。 $\prod _{\lambda \in \Lambda }X_{\lambda }$ 的乘積拓撲，是具有以下形式的基元素的拓撲： $\prod _{\lambda \in \Lambda }U_{\lambda }$，其中 $U_{\lambda }=X_{\lambda }$ 除有限個 $\lambda$ 外，每個 $U_{\lambda }$ 都是開集。

示例

• 令 $\Lambda =\{1,2\}$ 且 $X_{\lambda }=\mathbb {R}$ 具有通常的拓撲。 那麼 $\mathbb {R} ^{2}$ 的基本開集具有以下形式： $(a,b)\times (c,d)$

• 令 $\Lambda =\{1,2\}$ 且 $X_{\lambda }=R_{l}$ （索根弗裡拓撲）。 那麼 $\mathbb {R} ^{2}$ 的基本開集具有以下形式： $[a,b)\times [a,b)$