拓撲/切空間

簡單來說，切線是曲線的導數。轉化為拓撲學，這意味著您可以有效地從影像中刪除一個維度。通常，在處理時空時，我們可以執行以下兩種操作之一：要麼刪除時間以檢視凍結的 3D 影像，要麼刪除一個空間維度，從而將時空表示為彎曲的表面（網格狀圖，通常用來表示拓撲表面，例如黑洞，它們通常被描繪為收縮的圓錐體）。

因此，切空間只是我們所理解的比拓撲問題簡單一維的表示。它是視覺化時空引數和位置的有用工具。

歐幾里得序幕

到目前為止，我們透過要求歐幾里得空間上的相應對映是光滑的，來定義光滑流形上的光滑對映。在本節中，我們將把歐幾里得空間上的導數概念推廣到流形之間函式的導數概念。

回顧我們在歐幾里得空間上的導數定義

定義 1： 令 $f\,:\,\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$。那麼 $f$ 在 $p$ 處的導數，如果存在，是一個線性對映 $Df(p)\,:\,\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$，使得

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(p+h)-f(p)-Df(p)h}{||h||}}=0$

註記 2： $Df(p)$ 如果存在，則唯一，並且可以與雅可比矩陣 $\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{n\times m}$ 相對應。讀者可以將此作為練習。不幸的是，這種定義導數的方式不適合推廣到流形級別。相反，我們將構建歐幾里得空間上另一種導數定義。

定義 3： $\mathbb {R} ^{m}$ 上的光滑曲線 是一個光滑函式 $\gamma \,:\,\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{m}$。令 $\gamma ,\delta$ 是 $\mathbb {R} ^{m}$ 上的光滑曲線，使得 $\gamma (0)=\delta (0)$。定義等價關係 $\gamma \sim \delta \,\Leftrightarrow \,\gamma ^{\prime }(0)=\delta ^{\prime }(0)$。定義 $\mathbb {R} ^{m}$ 在 $p$ 處的切空間 為所有等價類 $[\gamma ]$ 的空間 $T_{p}\mathbb {R} ^{m}$，其中 $\gamma$ 是 $\mathbb {R} ^{m}$ 上的光滑曲線，使得 $\gamma (0)=p$。

備註 4： 請注意，我們只需要光滑曲線在包含 $0$ 的 $\mathbb {R}$ 的開子集上定義。

引理 5： 對於任何 $p\in \mathbb {R} ^{m}$，$T_{p}\mathbb {R} ^{m}$ 與 $\mathbb {R} ^{m}$ 作為向量空間是同構的。

證明：對於 $\mathbb {R} ^{m}$ 上的任意光滑曲線 $\gamma$，$\gamma ^{\prime }(0)$ 是 $\mathbb {R} ^{m}$ 中的一個向量，存在一個自然的雙射 $[\gamma ]\mapsto \gamma ^{\prime }(0)$。設 $\mu$ 為此雙射，並賦予 $T_{p}\mathbb {R} ^{m}$ 向量空間結構 $a[\gamma ]+b[\delta ]=\mu ^{-1}\left(a\mu ([\gamma ])+b\mu ([\delta ])\right)$，則 $\mu$ 變成了向量空間的同構。∎

注 6：與 $\mathbb {R} ^{m}$ 不同，$T_{p}\mathbb {R} ^{m}$ 沒有自然的基。

引理 7：設 $\gamma$ 是 $\mathbb {R} ^{m}$ 上的光滑曲線，滿足 $\gamma (0)=p$ 且 $\gamma ^{\prime }(0)=v$。則 $\gamma \sim \delta$，其中 $\delta (t)=p+vt$。

證明：首先，請注意 $\gamma (0)=p=\delta (0)$，因此比較它們是有意義的。其次，$\delta ^{\prime }(0)=v=\gamma ^{\prime }(0)$，所以 $\gamma \sim \delta$。 ∎

定義 8：令 $f\,:\,\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ 為一個光滑函式。那麼 $f$ 在 $p$ 處的微分 是對映 $d_{p}f\,:\,T_{p}\mathbb {R} ^{m}\rightarrow T_{f(p)}\mathbb {R} ^{n}$，由 $d_{p}f([\gamma ])=[f\circ \gamma ]$ 給出。

引理 9：$d_{p}f$ 是定義良好的。

證明：令 $\gamma \sim \delta$，其中 $\gamma (0)=p=\delta (0)$。那麼 $(f\circ \gamma )^{\prime }(0)=Df(\gamma (0))\gamma ^{\prime }(0)=Df(\delta (0))\delta ^{\prime }(0)=(f\circ \delta )^{\prime }(0)$，根據鏈式法則和使用通常的導數，因此 $[f\circ \gamma ]=[f\circ \delta ]$，因此 $d_{p}f$ 是定義良好的。 ∎

引理 10：令 $f(p)=g(p)$。那麼，如果 $Df(p)=D(g)(p)$，那麼 $d_{p}f=d_{p}g$。

證明： 令 $\gamma$ 為 $p$ 點的任意曲線。然後如果 $Df(p)=Dg(p)$，我們有 $d_{p}f([\gamma ])=[f\circ \gamma ]=[f(p)+Df(p)\gamma ^{\prime }(0)t]=[g(p)+Dg(p)\gamma ^{\prime }(0)t]=[g\circ \gamma ]=d_{p}g([\gamma ])$。 ∎

因此，微分編碼了關於導數的資訊。但是，它也編碼了關於 $f(p)$ 的資訊。與之前對導數的定義不同，微分可以透過一些細微的修改，推廣到流形上。這是下一小節的主題。

切空間

定義 11：流形 $M$ 上在點 $p$ 的 光滑曲線 是一個函式 $\gamma \,:\,\mathbb {R} \rightarrow M$，滿足 $\gamma (0)=p$。如果 $\gamma ,\delta$ 是 $M$ 上在點 $p$ 的光滑曲線，我們定義等價關係 $\gamma \sim \delta$ 當且僅當存在一個圖 $(U,\phi )$，滿足 $p\in U$，使得 $(\phi \circ \gamma )^{\prime }(0)=(\phi \circ \delta )^{\prime }(0)$。

備註 12：我們可以對 $(\phi \circ \gamma )$ 進行微分，因為它是在歐幾里得空間之間的函式，我們已經對其微分進行了研究。此外，等價關係是定義良好的，因為如果它對一個圖成立，那麼它對所有相容圖也成立。

定義 13： $M$ 在點 $p$ 的 切空間 是 $M$ 上在點 $p$ 的所有曲線等價類的空間。