向量叢，從廣義上講，是一系列向量空間，它們由拓撲空間連續索引。一個重要的例子是流形的切叢。
正式定義如下
定義（向量叢） 拓撲空間上的實向量叢 B {\displaystyle B} 是一個空間 E {\displaystyle E} 以及一個連續對映 p : E → B {\displaystyle p:E\rightarrow B} 具有以下性質
(1) 對於每個 b ∈ B {\displaystyle b\in B} ， p − 1 ( b ) {\displaystyle p^{-1}(b)} 與 R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} 同構。
(2) B {\displaystyle B} 被開集覆蓋 U i {\displaystyle U_{i}} 使得存在同胚 h i : p − 1 ( U i ) → U i × R n {\displaystyle h_{i}:p^{-1}(U_{i})\rightarrow U_{i}\times \mathbf {R} ^{n}} 以及 h i ∘ h j − 1 U i ∩ U j × R n → U i ∩ U j × R n {\displaystyle h_{i}\circ h_{j}^{-1}U_{i}\cap U_{j}\times \mathbf {R} ^{n}\rightarrow U_{i}\cap U_{j}\times \mathbf {R} ^{n}} 在第一個因子上是恆等式，在第二個因子上是線性同構。
用 C {\displaystyle \mathbf {C} } 替換 R {\displaystyle \mathbf {R} } ，我們得到了復向量叢的定義。
我們稱 E {\displaystyle E} 為向量叢的全空間， B {\displaystyle B} 為基空間。
可以定義一個光滑向量叢如下
E {\displaystyle E} 和 B {\displaystyle B} 必須是光滑流形，並且之前定義中出現的每個對映都必須是光滑的。
正如我們之前所說，光滑流形的切叢是一個光滑向量叢。
