拓撲/流形/流形類別

拓撲/流形
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有許多不同的流形概念，它們具有或多或少的結構，以及相應的“流形之間的對映”概念，每個概念都會產生不同的類別及其自身的分類問題。

可以透過遺忘函子在偏序中關聯這些類別：“遺忘額外結構”。例如，一個黎曼流形有一個底層的可微流形。出於某些目的，比較類別是有用的：給定類別中的哪些流形允許某個結構，以及有多少個。

在其他方面，不同的類別具有完全不同的理論：比較對稱空間和同調流形。

本文描述了流形上的許多結構及其聯絡，重點是幾何和拓撲中研究的類別；在某些情況下，形式化的範疇論觀點是該主題的重要組成部分，而在其他情況下，人們不太正式地簡單地討論各種型別的流形和對映，而沒有範疇論的裝置。

結構型別

流形上值得注意的結構，按剛性遞減的順序排列，包括：^[1]

光滑射影代數簇
凱勒流形
複流形 / 黎曼流形 / 辛流形^[2]
注意，對於辛流形，關於哪些對映是感興趣的，有各種不同的概念；沒有普遍認同的“辛流形類別”。
Diff: 可微流形（也稱為光滑流形）
PL: PL流形（分段線性）
正式地說，PL和Diff不能直接比較，因此必須引入PDIFF類別（分段可微），它與PL等價，因此在使用過程中沒有區別，除非特別注意。
Top: 拓撲流形
同調流形

這些可以分為幾何和拓撲類別：^[3]Diff及以下屬於拓撲類別，而以上屬於幾何類別。拓撲結構具有約定的類別結構（例如可微對映），而幾何結構具有各種對映概念，並且沒有單一的類別結構——當由G-結構定義時，可以取“尊重G-結構的對映”，例如黎曼流形的等距浸入，但這些可能不是最感興趣的對映。

某些結構特別特殊

以下結構是代數結構並且非常嚴格，並且允許優雅的代數分類

這些類別透過遺忘函子相關聯：例如，可微流形也是拓撲流形，可微對映也是連續對映，因此存在一個函子 $\operatorname {Diff} \to \operatorname {Top}$ .

這些函子一般來說既不是一對一的，也不是滿射的；這些失敗通常用“結構”來表達，如下所示。一個位於 $\operatorname {Diff} \to \operatorname {Top}$ 影像中的拓撲流形被稱為“允許可微結構”，給定拓撲流形上的纖維是“給定拓撲流形上的不同可微結構”。

因此，給定兩個類別，兩個自然的問題是

更準確地說，額外結構集的**結構**是什麼？

在更一般的範疇中，這個結構集有更多的結構：在 Diff 中它只是一個集合，但在 Top 中它是一個群，而且是函子式的。

在 G 結構的情況下，這正是結構群的約化，其中最熟悉的例子是可定向性：並非所有流形都是可定向的，而可定向的流形恰好允許兩個定向（形成一個 $\mathbf {Z} /2$ -主齊性空間）。

一般來說，情況更加複雜；對於從可微（和 PL，以及 Top）流形到具有龐加萊對偶的空間範疇的遺忘函子，這是手術理論，結構群的約化（這裡稱為“法不變數”）是第一步，第二步（也是最後一步）是手術障礙。對於像復結構或辛結構這樣的幾何結構，一般來說要困難得多。

遺忘函子是……的重要例子

擴充套件一個範疇（弱化公理）從範疇論的角度來看通常會產生一個更靈活的理論。另一方面，非常受限的範疇，例如李群或對稱空間，通常有非常優雅的理論；中間的理論是最複雜的。這與流形分類根據維數進行的方式類似：低維數受限並被明確分類，高維數靈活且代數化，而中間維數（4 維）是最複雜的。

類似地，在Enriques-Kodaira 分類中，復曲面的陳數有複雜的約束（哪些陳數可以被複曲面實現的問題是陳數的地理問題，目前仍然是一個開放問題），而幾乎復曲面可以具有任何陳數，只要 $c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\pmod {12}}$ 。

另請參閱：流形範疇流形是在幾何拓撲之外研究的；不同領域的方法和理論差異很大。

在流形定義中放鬆點集條件，可以得到更廣泛的流形類別，這些類別在一般拓撲中得到研究

在實數上可能無窮維的拓撲向量空間上對流形建模，得到以下流形類別，這些類別在泛函分析中得到研究

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