拓撲/流形

球面的表面和二維平面，都存在於某個三維空間中，是人們通常所說的表面的例子。拓撲流形是對這種表面概念的推廣。如果拓撲空間中的每個點都有一個鄰域，該鄰域同胚於$\mathbb {R} ^{n}$的開子集，對於某個非負整數$n$，那麼這個空間是區域性歐幾里得的。這 формализует the idea that, while a surface might be unusually connected, patches of the surface can still resemble a euclidean space. 例如，克萊因瓶的表面無法在三維空間中浸入而不與自身相交，克萊因瓶的內部和外部之間沒有區別，但它的小塊區域仍然看起來像歐幾里得空間。生活在克萊因瓶表面上的一個小生物可能不知道它是如何整體連線的，也不知道它是如何彎曲的，但它仍然可以製作其附近區域的矩形或正方形地圖，並使用該地圖來測量長度、方向等等。

拓撲流形是區域性歐幾里得的豪斯多夫空間。其他性質通常包含在拓撲空間的定義中，例如是第二可數的（具有可數的基），這包含在下面的定義中。拓撲流形是豪斯多夫的，排除了某些病態的例子，例如帶兩個原點的直線，它是透過用兩個點替換實數軸的原點建立的。兩個原點中的任何一個點的鄰域都將包含零點周圍某個開區間的全部點，因此將包含另一個原點，因此它們的鄰域將始終相交，因此該空間不是豪斯多夫的。見 非豪斯多夫流形以獲取其他示例。

定義 1（拓撲流形）

拓撲空間$M$稱為$n$維拓撲流形（或$n$流形），如果：

1. 每個點$x\in M$都有一個開鄰域$U\subset M$，該鄰域同胚於$\mathbb {R} ^{n}$的開子集。
2. $M$是豪斯多夫的。
3. $M$是第二可數的。

注意：按照慣例，球$B^{0}$是一個單點。任何具有離散拓撲的空間都是 0 維流形。

還要注意所有拓撲流形顯然都是區域性連通的。

為了強調給定流形$M$是$n$維的，我們將使用簡寫$M^{n}$。這不能與$n$元笛卡爾積$M\times ...\times M$混淆。但是，我們將在後面證明這種構造確實存在。

警覺的讀者可能會想知道為什麼我們需要流形是豪斯多夫的和第二可數的。這樣做的原因是為了排除一些病態的例子。兩個這樣的例子是長直線，它不是第二可數的，以及帶兩個原點的直線，它不是豪斯多夫的。

定理 2

拓撲流形是連通的，當且僅當它是路徑連通的。

證明：由於所有拓撲流形顯然都是區域性連通的，因此該定理立即成立。 ∎

定義 3

設 $M$ 是一個拓撲 $n$- 流形。設 $p\in M$ 且 $p\in U\subseteq M$ 是 $p$ 的一個開鄰域。現在，設 $\phi \,:\,U\rightarrow U^{\prime }$，其中 $U^{\prime }\subseteq \mathbb {R} ^{n}$，是一個同胚。則這對 $(U,\phi )$ 被稱為 在 $p$ 處的圖。

定義 4

設 $M$ 是一個拓撲 $n$- 流形，設 $A=\{(U_{i},\phi _{i})\}_{i\in I}$ 是 $M$ 上的圖，使得 $\bigcup _{i\in I}U_{i}=M$。也就是說，$\{U_{i}\}_{i\in I}$ 是 $M$ 的一個開覆蓋。則 $A$ 被稱為 $M$ 上的 圖冊。

定義 5

設 $M$ 是一個 $n$ 維流形，設 $(U,\phi )$ 和 $(V,\psi )$ 是一個點 $p$ 的圖（因此 $U\cap V\neq \emptyset$）。定義這兩個圖之間的過渡函式（或圖變換）為同胚 $\psi \circ \phi ^{-1}:\phi (U\cap V)\rightarrow \psi (U\cap V)$。

給定一對 $(M,A)$，其中 $M$ 是一個 $n$ 維流形，而 $A$ 是 $M$ 上的一個圖集，$M$ 可能滿足的性質通常表示為 $A$ 中圖之間的過渡函式的性質。這將是我們定義可微流形的概念的方式。

定義 6

流形的圖集是光滑的（或 ${\mathcal {C}}^{\infty }$）如果所有過渡函式都是光滑的（所有高階偏導數都存在且連續）。

定義 7

微分同胚是一個光滑同胚 $f$，使得 $f^{-1}$ 也是光滑的。

注意，在光滑圖集中，所有過渡函式都是微分同胚。

定義 8

令 $M$ 為一個流形，且 $A$ 為 $M$ 上的光滑圖集。然後，定義 $A_{\mathrm {max} }$ 為 $M$ 上所有滿足以下條件的圖 $(V,\psi )$ 的集合：對於所有 $(U,\phi )\in A$，$\psi \circ \phi ^{-1}|_{\phi (U\cap V)}$ 和 $\psi \circ \phi ^{-1}|_{\phi (U\cap V)}$ 都是光滑的。

具有上述性質的圖 $(V,\psi )$ 被稱為與 $A$ 相容。

引理 9

$A_{max}$ 是 $M$ 上的光滑圖集。

Proof: We have to show that the transition functions between any pair of charts in $A_{\mathrm {max} }$ are smooth. This is obvious if one of then is in$A$, so let $(V_{1},\psi _{1})$ and $(V_{2},\psi _{2})$ be charts in $A_{\mathrm {max} }$ that are not in $A$, such that $V_{1}\cap V_{2}\neq \emptyset$. Let $(U,\phi )\in A$ be a chart such that $U\cap V_{1}\cap V_{2}=W\neq \emptyset$. Then $\phi \circ \psi _{1}^{-1}|_{W}$ and $\psi _{2}\circ \phi ^{-1}|_{W}$ are both smooth, since, both $(V_{1},\psi _{1})$ and $(V_{2},\psi _{2})$ are compatible with $A$. Then, $\psi _{2}\circ \psi _{1}^{-1}|_{W}=\psi _{2}\circ (\phi ^{-1}\circ \phi )\circ \psi _{1}^{-1}|_{W}=(\psi _{2}\circ \phi ^{-1}|_{W})\circ (\phi \circ \psi _{1}^{-1}|_{W})$ is smooth since it is a composition of smooth maps. An identical argument for $\psi _{1}\circ \psi _{2}^{-1}$ completes the proof. ∎

顯然，如果 $A^{\prime }$ 是包含光滑圖集 $A$ 的光滑圖集，則 $A_{\mathrm {max} }^{\prime }=A_{\mathrm {max} }$。

光滑對映

定義 10

設 $M^{m}$ 和 $N^{n}$ 是光滑流形， $p\in M$，令 $f\,:\,M\rightarrow N$ 為一個函式。那麼，如果對於 $M$ 上的任何圖 $(U,\phi )$ 和 $N$ 上的任何圖 $(V,\psi )$，使得 $p\in U$ 且 $f(p)\in V$，函式 ${\hat {f}}(\phi (p))=(\psi \circ f\circ \phi ^{-1})(\psi (p))$ 從 $\phi (U\cap f^{-1}(V))\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ 到 $\psi (f(U)\cap V)\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 是歐幾里得空間上的光滑函式，那麼 $f\,:\,M\rightarrow N$ 稱為在 $p$ 處 光滑。 $f$ 稱為 光滑函式，如果它在所有 $p\in M$ 處都是光滑的。

引理 11

$f\,:\,M\rightarrow N$ 在 $p\in M$ 處光滑當且僅當存在 $(U,\phi )$ 在 $M$ 上和 $(V,\psi )$ 在 $N$ 上，滿足 $p\in U\subseteq f^{-1}(V)$，使得 $(\psi \circ f\circ \phi ^{-1}):\phi (U\cap f^{-1}(V))\rightarrow \psi (f(U)\cap V)$ 是光滑的。

證明: $f$ 是連續的，因為 $\psi \circ f\circ \phi ^{-1}$ 是光滑的，因此是連續的，而 $\phi$ 和 $\psi$ 是同胚對映。設 $(U^{\prime },\phi ^{\prime })$ 和 $(V^{\prime },\psi ^{\prime })$ 是在 $p$ 和 $f(p)$ 處的另外兩個圖。然後 $(\psi ^{\prime }\circ f\circ {\phi ^{\prime }}^{-1})=(\psi ^{\prime }\circ \psi ^{-1})\circ (\psi \circ f\circ \phi ^{-1})\circ (\phi \circ {\phi ^{\prime }}^{-1})$，它是光滑函式的複合，因為 $M$ 和 $N$ 上的圖集是光滑的，因此它是光滑的。 ∎

備註 12

根據引理 11，我們不必檢查所有圖來判斷一個函式是否光滑。這是一個好訊息，因為最大圖集往往是不可數的。

定義 12

如果 $f\,:\,M\rightarrow N$ 是一個光滑的雙射函式，並且其逆函式也是光滑的，那麼它被稱為微分同胚。如果兩個流形之間存在微分同胚，那麼它們被稱為微分同胚。

引理 13

設 $f\,:\,M\rightarrow N$ 和 $g\,:\,N\rightarrow P$ 是光滑的。那麼 $g\circ f\,:\,M\rightarrow P$ 也是光滑的。

證明：令 $(U,\phi )$，$(V,\psi )$ 和 $(W,\xi )$ 分別為 $M,N,P$ 在 $p,f(p),g\circ f(p)$ 處的圖。那麼，$\xi \circ g\circ f\circ \phi ^{-1}(\phi (p))=(\xi \circ g\circ \psi ^{-1})\circ (\psi \circ f\circ \phi ^{-1})(\phi (p))$ 是歐幾里得空間的光滑對映的複合，因此是光滑的。 ∎