拓撲/希爾伯特空間

希爾伯特空間是一種向量空間，它在函式分析中起著關鍵作用，它是完備的，並且是一種更具體的巴拿赫空間。

內積空間的定義

內積空間或 IPS 是在域 F 上的向量空間 V，具有一個函式 $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to F$，稱為內積，它符合三個公理。

1. 共軛對稱性：$\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$ 對於所有 $x,y\in V$。請注意，如果域 $F$ 是 $\mathbb {R}$，我們只有對稱性。

2. 第一項的線性性：$\langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle$ 和 $\langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle$ 對於所有 $x,y,z\in V$ 和 $a\in F$。

3. 正定性：$\langle x,y\rangle \geq 0$ 對於所有 $x,y\in V$ 和 $\langle x,y\rangle =0$ 當且僅當 $x=y$。

希爾伯特空間的定義

希爾伯特空間是一個內積空間，它關於其推斷的度量是完備的。

練習

證明內積自然地與度量相關聯，因此所有內積空間都是度量空間。

示例

$\ell ^{2}$ 是一個希爾伯特空間，其點是單位區間 I 上的無窮序列 $(a_{n})$，使得

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}^{2}$

收斂，並且是具有內積 $\langle (x_{n}),(y_{n})\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}{\overline {y_{i}}}$ 的希爾伯特空間。

特徵定理

在同胚意義下，只有一個可分離的希爾伯特空間，它就是 $\ell ^{2}$.

練習

(正在建設中)