拓撲/自由群和群的表示

由集合生成的自由么半群

設 $V$ 是一個向量空間，且 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ 是 $V$ 的一個基。給定任何向量空間 $W$ 和任何元素 $w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$，存在一個線性變換 $\varphi :V\rightarrow W$，使得 $\forall i\in \{1,\ldots ,n\},\,\varphi (v_{i})=w_{i}$。可以說這是因為基元素 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ 之間沒有“關係”（形式上，它們是線性無關的）。事實上，例如，如果我們有關係 $v_{1}=\lambda v_{2}$，其中 $\lambda$ 是一個標量（然後 $v_{1},\ldots ,v_{n}$ 就不是線性無關的），那麼線性變換 $\varphi$ 就不會存在。

Let us consider a similar problem with groups: given a group $G$ spanned by a set $X=\{x_{i}:i\in I\}\subseteq G$ and given any group $H$ and any set $Y=\{y_{i}:i\in I\}\subseteq H$, does there always exist a group morphism $\varphi :G\rightarrow H$ such that $\forall i\in I,\,\varphi (x_{i})=y_{i}$? The answer is no. For example, consider the group $G=\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ which is spanned by the set $X=\{1\}$, the group $H=\mathbb {R}$ (with the adition operation) and the set $Y=\{2\}$. If there exists a group morphism $\varphi :\mathbb {Z} _{n}\rightarrow \mathbb {R}$ such that $\varphi (1)=2$, then $n2=n\varphi (1)=\varphi (n\,1)=\varphi (0)=0$, which is impossible. But if instead we had choose $G=\mathbb {Z}$, then such a group morphism does exist and it would be given by $\varphi (t)=2t$. Indeed, given any group $H$ and any $y\in H$, we have the group morphism $\varphi :\mathbb {Z} \rightarrow H$ defined by $\varphi (t)=y^{t}$ (in multiplicative notation) that verifies $\varphi (1)=y$. In a way, we can think that this happens because the elements of the set $X=\{1\}\subseteq \mathbb {Z}$ (that spans $\mathbb {Z}$) don't verify relations like $nx=1$ (like $\mathbb {Z} _{n}$) or $xy=yx$. So, it seems that $\mathbb {Z}$ is a group more "free" that $\mathbb {Z} _{n}$.

本節的目標是，給定一個集合 $X$，構建一個由集合 $X$ 生成的群，使得它儘可能“自由”，也就是說，它不必服從諸如 $x^{n}=1$ 或 $xy=yx$ 這樣的關係。為此，我們首先構造一個“自由”么半群（以同樣的意義）。非正式地說，這個么半群將是使用字母表 $X$ 的字母書寫的單詞的么半群，其中恆等元將是沒有任何字母的單詞（“空單詞”），么半群的二元運算將是單詞的串聯。我們將用來表示該么半群的元素的記號 $x_{1}\ldots x_{n}$ 符合這個概念，即這個么半群的元素是單詞 $x_{1}\ldots x_{n}$，其中 $x_{1},\ldots ,x_{n}$ 是字母表 $X$ 的字母。以下是該么半群的定義。

定義 設 $X$ 為一個集合。

1. 我們將 $n$-元組 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$，其中 $x_{i}\in X$ 且 $n\in \mathbb {N}$，記為 $x_{1}\ldots x_{n}$。
2. 我們將 $()$ 表示為 $(x_{1},\ldots ,x_{n})$，其中 $n=0$，表示為 $1$。
3. 我們將 $FM(X)$ 表示為集合 $\{x_{1}\ldots x_{n}:n\in \mathbb {N} ,x_{i}\in X\}$。
4. 我們在 $FM(X)$ 中定義連線操作 $*$ 為 $x_{1}\ldots x_{m}*y_{1}\ldots y_{n}=x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}$。

接下來我們將證明這個么半群確實是一個么半群。這是一個很容易證明的結果，我們需要證明 $*$ 的結合律和 $1*x=x*1=x$。

命題 $(FM(X),*)$ 是一個么半群，其單位元為 $1$。

證明 操作 $*$ 是結合的，因為對於任意 $x_{1}\ldots x_{m},y_{1}\ldots y_{n},z_{1}\ldots z_{p}\in FM(X)$，我們有

$(x_{1}\ldots x_{m}*y_{1}\ldots y_{n})*z_{1}\ldots z_{m}$

$=x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}*z_{1}\ldots z_{m}$

$=x_{1}\ldots x_{m}y_{1}\ldots y_{n}z_{1}\ldots z_{m}$

$=x_{1}\ldots x_{m}*(y_{1}\ldots y_{n}z_{1}\ldots z_{m})$

$=x_{1}\ldots x_{m}(y_{1}\ldots y_{n}*z_{1}\ldots z_{m})$.

很明顯，$(FM(X),*)$ 的單位元為 $1$，因為根據 $1$ 和 $*$ 的定義，$1*x_{1}\ldots x_{n}=x_{1}\ldots x_{n}$。 $\square$

遵循這樣的想法：么半群 $(FM(X),*)$ 是由 $X$ 張成的“最自由”的么半群，我們將它稱為由 $X$ 張成的自由么半群。

定義 令 $X$ 為一個集合。我們用 $(FM(X),*)$ 表示由 $X$ 張成的自由么半群。

示例

1. 令 $X=\{x\}$。那麼 $FM(X)=\{1,x,xx,xxx,\ldots \}$，例如，$xx*xxx=xxxxx$。
2. 令 $X=\{x,y,z\}$。那麼 $1,x,y,z,xxx,yxz,xyzzz\in FM(X)$，例如 $xxx*yxz=xxxyxz$。

由集合生成的自由群

Now let us construct the more "free" group spanned by a set $X$. Informally, what we will do is insert in the monoid $FM(X)$ the inverse elements that are missing in it for it to be a group. In a more precise way, we will have a set ${\bar {X}}$ equipotent to $X$, choose a bijection from $X$ to ${\bar {X}}$ and in this way achieve a "association" between the elements of $X$ and the elements of ${\bar {X}}$. Then we face $x_{1}\ldots x_{n}\in FM(X)$ (with $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$) as having the inverse element ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ (with ${\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}}\in X$), where $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ is is associated with ${\overline {x_{1}}}\ldots {\overline {x_{n}}}$, respectively. Let us note that the order of the elements in ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ is "reversed" because the inverse of the product $x_{1}\ldots x_{n}=x_{1}*\cdots *x_{n}$ must be $x_{n}^{-1}*\cdots *x_{1}^{-1}$, and the $x_{1}^{-1},\ldots ,x_{n}^{-1}$ are, respectively, ${\overline {x_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}}}$. The way we do that ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ be the inverse of $x_{1}\ldots x_{n}$ is to take a congruence relation $R$ that identifies $x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ with $1$, and pass to the quotient $FM(X\cup {\bar {X}})$ by this relation (defining then, in a natural way, the binary operation of the group, $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u*v]_{R}$). By taking the quotient, we are formalizing the intuitive idea of identifying $x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ with $1$, because in the quotient we have the equality $[x_{1}\ldots x_{n}{\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}]_{R}=[1]_{R}$. Let us give the formal definition.

定義 令 $X$ 為一個集合。讓我們取另一個集合 ${\overline {X}}$ 與 $X$ 等勢且與 $X$ 不交，並令 $f:X\rightarrow {\overline {X}}$ 為一個雙射對映。

1. 對於每個 $x\in X$，讓我們用 ${\bar {x}}$ 表示 $f(x)$，對於每個 $x\in {\overline {X}}$，讓我們用 ${\bar {x}}$ 表示 $f^{-1}(x)$，對於每個 $x_{1}\ldots x_{n}\in FM(X\cup {\overline {X}})$，讓我們用 ${\overline {x_{n}}}\ldots {\overline {x_{1}}}$ 表示 ${\overline {x_{1}\ldots x_{n}}}$。
2. 令 $R$ 為 $FM(X\cup {\overline {X}})$ 由 $G=\{(u*{\bar {u}},1):u\in X\cup {\overline {X}}\}$ 生成的同餘關係，也就是說，$R$ 是 $FM(X\cup {\overline {X}})$ 中所有包含 $G$ 作為子集的同餘關係的交集。我們將商集 $FM(X\cup {\overline {X}})/R$ 記作 $FG(X)$.

通常，我們濫用符號，用 $u$ 簡潔地表示 $FG(X)$ 中的元素 $[u]_{R}$.

由於我們在 $FM(X\cup {\bar {X}})/R$ 中定義的運算 $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u*v]_{R}$ 是使用等價類 $[u]_{R}$ 和 $[v]_{R}$ 的特定代表元 $u$ 和 $v$ 定義的，第一步就是要驗證這個定義是否獨立於選擇的代表元。這是一個簡單的驗證。

引理 設 $X$ 為一個集合。在 $FG(X)$ 中，二元運算 $\star$ 定義為 $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u_{r}*v_{r}]_{R}$（其中 $R$ 是前面定義中的同餘關係）。

證明 設 $u,u',v,v'\in FM(X)$ 為任意元素，使得 $[u]_{R}=[u']_{R}$ 且 $[v]_{R}=[v']_{R}$，即 $uRu'$ 且 $vRv'$。因為 $R$ 是 $FM(X\cup {\bar {X}})$ 中的同餘關係，我們有 $u*vRu'*v'$，即 $[u*v]_{R}=[u'*v']_{R}$。 $\square$

由於定義有效，我們給出定義。

定義 令 $X$ 為一個集合。我們在 $FG(X)$ 中定義二元運算 $\star$ 為 $[u]_{R}\star [v]_{R}=[u_{r}*v_{r}]_{R}$。

最後，我們驗證我們構造的群確實是一個群。

命題 令 $X$ 為一個集合。 $(FG(X),\star )$ 是一個群，其單位元為 $[1]_{R}$，並且 $\forall [u]_{R}\in FG(X),\,{[u]_{R}}^{-1}=[{\bar {u}}]_{R}$。

證明

1. $(FG(X),\star )$ 是結合的，因為 $\forall [u]_{R},[v]_{R},[w]_{R}\in FG(X),\,([u]_{R}\star [v]_{R})\star [w]_{R}=([u*v]_{R})\star [w]_{R}=[([u]_{R}*[v]_{R})*w]_{R}=$ $[u*(v*w)]_{R}=[u]_{R}\star [v*w]_{R}=[u]_{R}\star ([v]_{R}\star [w]_{R}).$
2. 讓我們看看 $[1]_{R}$ 是 $(FG(X),\star )$ 的單位元。令 $[u]_{R}\in FG(X)$ 為任意元素，我們有 $[u]_{R}\star [1]_{R}=[u*1]_{R}=[u]_{R}$，並且以同樣的方式，$[1]_{R}\star [u]_{R}=[u]_{R}$。
3. 令 $[u]_{R}\in FG(X)$ 為任意元素，讓我們看看 $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$。我們有 $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[u*{\bar {u}}]_{R}$，根據 $R$ 的定義，$u*{\bar {u}}R1$，也就是說，$[u*{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$，因此 $[u]_{R}\star [{\bar {u}}]_{R}=[1]_{R}$，並且以同樣的方式，$[{\bar {u}}]_{R}\star [u]_{R}=[1]_{R}$。 $\square$

與自由么半群類似，我們將由集合 $X$ 生成的自由群稱為由該集合生成的“更自由”的群。

定義 令 $X$ 為一個集合。我們將由 $X$ 生成的自由群稱為 $(FG(X),\star )$。

Example Let $X=\{x\}$. Let us choose any set ${\bar {X}}=\{y\}$ disjoint (and equipotent) of $X$. Let $f:X\rightarrow {\bar {X}}$ be any (in fact, the only) bijective application of $X$ in ${\bar {X}}$. Then we denote $f(x)=y$ by ${\bar {x}}$ and we denote $f^{-1}(y)=x$ by ${\bar {y}}$. We regard $x$ and $y$ as inverse elements. Let $R$ be the congruence relation of $FM(X\cup {\bar {X}})$ spanned by $G=\{(1,1),(x{\bar {x}},1),(xx{\bar {x}}{\bar {x}},1),\ldots \}$. $FG(X)=FM(\{x,{\bar {x}}\})/R$ is the set of all "words" written in the alphabet $\{[x]_{R},[{\bar {x}}]_{R}\}$. For example, $[1]_{R},[x]_{R},[{\bar {x}}]_{R},[xx{\bar {x}}xx]_{R}\in FG(X)$.

我們有 $G\subseteq R$，例如，$(xx{\bar {x}},1)\in R$，因為 $(x{\bar {x}},1)\in G\subseteq R$（因此 $x{\bar {x}}R1$）並且因為 $R$ 是一個同餘關係，我們可以將關係 $x{\bar {x}}R1$ 的兩邊 "乘以" $x$ 並得到 $xx{\bar {x}}Rx$。我們看到 $x{\bar {x}}R1$ 的意思是，在 $FG(X)$ 中，我們有 $xx{\bar {x}}=x$（更準確地說，$[xx{\bar {x}}]_{R}=[x]_{R}$），我們認為這個等式是 $xx{\bar {x}}$ 中用 ${\bar {x}}$ "剪掉" 一個 $x$ 的結果。

給定 $u\in FM(X\cup {\bar {X}})$，讓我們用 $|u|_{x}$ 表示 "字母" $x$ 在 $u$ 中出現的精確次數，並用 $|u|_{\bar {x}}$ 表示 "字母" ${\bar {x}}$ 在 $u$ 中出現的精確次數。然後用 ${\bar {x}}$ "剪下" $x$，它仍然是一個簡化的詞，其中有 $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}$ 次字母 $x$（如果 $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}<0$，讓我們考慮沒有字母 $x$，並且有 $-(|u|_{x}-|u|_{\bar {x}})$ 次字母 ${\bar {x}}$）。讓我們用 $|u|_{x-{\bar {x}}}$ 表示 $|u|_{x}-|u|_{\bar {x}}$。我們有

1. $[u]_{R}=[v]_{R}$ 當且僅當 $|u|_{x-{\bar {x}}}=|v|_{x-{\bar {x}}}$ 且
2. $\forall [u]_{R},[v]_{R}\in FG(X),\,|uv|_{x-{\bar {x}}}=|u|_{x-{\bar {x}}}+|v|_{x-{\bar {x}}}$.

這樣，每個元素 $[u]_{R}\in FG(X)$ 由整數 $|u|_{x-{\bar {x}}}$ 決定，並且兩個元素 $[u]_{R},[v]_{R}\in FG(X)$ 的乘積 $\star$ 對應於他們關聯的整數 $|u|_{x-{\bar {x}}}$ 和 $|v|_{x-{\bar {x}}}$ 的和。因此，群 $(FG(X),\star )$ 與 $(\mathbb {Z} ,+)$ “相似”。實際上 $(FG(X),\star )$ 同構於 $(\mathbb {Z} ,+)$ ，對映 $|\cdot |_{x-{\bar {x}}}:FG(X)\rightarrow \mathbb {Z}$ 是一個群同構。

群的表示

Informally, it seems that $\mathbb {Z} _{n}$ is obtained from the "free" group $\mathbb {Z}$ imposing the relation $nx=1$. Let us try formalize this idea. We start with a set $X$ that spans a group $G$ that que want to create and a set of relations $R$ (such as $x^{n}=1$ or $xy=yz$) that the elements of $G$ must verify and we obtain a group $G/R$ spanned by $G$ and that verify the relations of $R$. More precisely, we write each relation $u=v$ in the form $uv^{-1}=1$ (for example, $xy=yx$ is written in the form $xyx^{-1}y^{-1}=1$) and we see each $uv^{-1}$ as a "word" of $FG(X)$. Because $R$ doesn't have to be a normal subgroup of $G$, we can not consider the quotient $FG(X)/R$, so we consider the quotient $FG(X)/N$ where $N$ is the normal subgroup of $FG(X)$ spanned by $R$. In $G/N$, we will have $uv^{-1}N=1N$, which we see as meaning that in $G/N$ the elements $uv^{-1}$ and $1$ are the same. In this way, $FG(X)/N$ will verify all the relations that we want and will be spanned by $X$ (more precisely, by $\{xN:x\in X\}$). Let us formalize this idea.

定義 設 $G$ 是一個群。我們稱 $G$ 的表示，並用 $<X:R>$ 表示為一個有序對 $(X,R)$，其中 $X$ 是一個集合，$R\subseteq FG(X)$ 並且 $G\simeq FG(X)/N$，其中 $N$ 是 $FG(X)$ 由 $R$ 生成的正規子群。給定一個表示 $<X:R>$，我們稱生成集為 $X$，關係集為 $R$。

讓我們看看一些自由群 $FG(X)$ 和群 $\mathbb {Z} _{n}$，$\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$，$\mathbb {Z} _{m}\oplus \mathbb {Z} _{n}$ 和 $S_{3}$ 的表示的例子。我們還將使用這些例子來介紹一些常見的符號，並說明群的表示不必是唯一的。

示例

1. 令 $X$ 為一個集合。 $<X:{\emptyset }>$ 是 $FG(X)$ 的一個表示，因為 $FG(X)\simeq FG(X)/\{1\}$，其中 $\{1\}$ 是 $FG(X)$ 中由 $\emptyset$ 生成的正規子群。特別是，$<\{x\}:\emptyset >$ 是 $(\mathbb {Z} ,+)\simeq FG(\{x\})$ 的一個表示，通常記為 $<x:\emptyset >$。$(\mathbb {Z} ,+)$ 的另一個表示是 $<\{x,y\}:\{xy^{-1}\}>$，通常記為 $<x,y:xy^{-1}>$。非正式地說，在表示 $<x,y:xy^{-1}>$ 中，我們向生成元集合中添加了一個新的元素 $y$，但我們加上了關係 $xy^{-1}=1$，也就是說，$x=y$，這與沒有引入元素 $y$ 並且保持使用表示 $<x:\emptyset >$ 是相同的。
2. 令 $X=\{x\}$。 $<X:\{x^{n}\}>$（其中 $x^{n}=x\star \cdots \star x\in FG(X)$ $n$ 次）是 $\mathbb {Z} _{n}$ 的一個表示。事實上，$FG(X)$ 由 $\{x^{n}\}$ 張成的子群是 $N=\{\ldots ,{\bar {x}}^{2n},{\bar {x}}^{n},1,x^{n},x^{2n},\ldots \}\simeq n\mathbb {Z}$，並且 $FG(X)\simeq \mathbb {Z}$，因此 $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \simeq FG(X)/N$。更常見的是用 $<x:x^{n}>$ 表示 $<\{x\}:\{x^{n}\}>$。
3. 設 $X=\{x,y\}$ （其中 $x$ 和 $y$ 不同）以及 $R=\{xyx^{-1}y^{-1}\}$。 $<X:R>$ 是 $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ 的一個表示。簡單來說，我們是在 $FG(X)$ 中強加交換性，即 $xy=yx$，即 $xyx^{-1}y^{-1}=1$，從而得到一個與 $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ 同構的群。通常情況下， $<\{x,y\}:\{xyx^{-1}y^{-1}\}>$ 會用 $<x,y:xyx^{-1}y^{-1}>$ 來表示。
4. 令 $X=\{x,y\}$ 且 $R=\{xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}\}$。 $<X,R>$ 是 $\mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$ 的一個表示。非正式地說，我們以與前一個示例相同的方式強加交換性，並強加 $x^{m}=1$ 和 $x^{n}=1$ 來獲得 $\mathbb {Z} _{m}\times \mathbb {Z} _{n}$ 而不是 $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$。 更常見的是用 $<\{x,y\}:\{xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}\}>$ 來表示 $<x,y:xyx^{-1}y^{-1},x^{m},y^{n}>$。
5. $<\{a,b,c\}:\{aa,bb,cc,abac,cbab\}>$, more commonly written $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$, is a presentation of $S_{3}$, the group of the permutations of $\{1,2,3\}$ with the composition of applications. To verify this, one can verify that any group with presentation $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$ as exactly six elements $id$, $a$, $b$, $c$, $a$, $ab$ and $ac$, and that the multiplication of this elements results in the following Cayley table that is equal to the Cayley table of $S_{3}$. Just to give an idea how this can be achieved, a group with presentation $<a,b,c:a^{2},b^{2},c^{2},abac,cbab>$ as exactly the elements $id$, $a$, $b$, $c$, $a$, $ab$ and $ac$ because none of this elements are the same (the relations $a^{2}=b^{2}=c^{2}=abac=cbab=1$ don't allow us to conclude that two of the elements are equal) and because "another" elements like $bc$ are actually one of the previous elements (for example, from $cbab=id$ we have $cb=ab$, and taking inverses of both members, we have $b^{-1}c^{-1}=b^{-1}a^{-1}$, which, using $a^{2}=b^{2}=c^{2}=id$, this is, $a=a^{-1}$, $b=b^{-1}$ and $c=c^{-1}$, results in $bc=ba$). Then, using the relations of the presentation, one can compute the Cayley table. For example, $a(ab)=b$ because we have the relation $a^{2}=1$. Another example: we have $b(ac)=a$ because we can multiply both members of the relation $abac=id$ by $a$ and then use $a^{2}=id$. One could have suspected of this presentation by taking $a=(1\ 2)$, $b=(1\ 3)$ and $c=(2\ 3)$ and then, trying to construct the Cayley table of $S_{3}$, found out that it was possible if one know that $a^{2}=b^{2}=c^{2}=abac=cbab=1$.

$\times$	$id$	$a$	$b$	$c$	$ab$	$ac$
$id$	$id$	$a$	$b$	$c$	$ab$	$ac$
$a$	$a$	$id$	$ab$	$ac$	$b$	$c$
$b$	$b$	$ac$	$id$	$ab$	$c$	$a$
$c$	$c$	$ab$	$ac$	$id$	$a$	$b$
$ab$	$ab$	$c$	$a$	$b$	$ac$	$id$
$ac$	$ac$	$b$	$c$	$a$	$id$	$ab$

自然地，人們會問，所有群是否都有一個表示。下面的定理告訴我們答案是肯定的，並且它為我們提供了一個表示。

定理 令 $(G,\times )$ 是一個群。

1. 由 $\varphi :FG(G)\rightarrow G$ 定義的應用，其中 $\varphi ([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{n}]_{R})=x_{1}\times \cdots \times x_{n}$ （其中 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in G$）是一個群上射同態。
2. $<G:{\textrm {ker}}\,\varphi >$ 是 $(G,\times )$ 的一個表示。

證明

1. $\varphi$ 是定義良好的，因為 $FG(X)$ 中的每個元素都具有一個唯一的表示形式，即 $[x_{n}]\star \cdots [x_{n}]_{R}$，其中 $x_{1},\ldots ,x_{n}\in G$，除了 $[1]_{R}$ 在表示中出現多次，但這不會影響 $x_{1}\times \cdots \times x_{n}$ 的值。設 $[x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R},[y_{1}]_{R}\star \cdots \star [y_{n}]_{R}\in FG(X)$ 為任意元素，其中 $x_{1},\ldots ,x_{m},y_{1},\ldots ,y_{n}\in G$。我們有 $\varphi (([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R})\star ([y_{1}]_{R}\star \cdots \star [y_{n}]_{R}))=(x_{1}\times \cdots \times x_{m})\times (y_{1}\times \cdots \times y_{n})=$ $\varphi ([x_{1}]_{R}\star \cdots \star [x_{m}]_{R})\times \varphi ([y_{1}]_{R}\star \cdots \star [y_{n}]_{R})$，因此 $\varphi$ 是一個群同態。因為 $\forall x\in G,\,\varphi ([x]_{R})=x$，那麼 $G$ 是一個滿射群同態。
2. 根據群的第一同構定理，我們有$FG(G)/{\textrm {ker}}\,\varphi \simeq \varphi (G)=G$，因此$<G:{\textrm {ker}}\,\varphi >$是$(G,\times )$的一個表示。$\square$

儘管前面的定理給了我們群$G$的一個表示，但它並沒有給我們一個“好的”表示，因為生成集$G$通常比其他生成集大得多，關係集$\mathrm {ker} \,\varphi$也通常比其他足夠的關係列更大（它甚至是一個$FG(G)$的正規子群，當它足夠生成一個合適的正規子群時）。