拓撲/序列

空間 $X$ 中的序列定義為從自然數集到該空間的函式，即 $f:\mathbb {N} \to X$。序列的定義域的成員是 $f(1),f(2),\ldots$，並表示為 $f(n)=a_{n}$。序列本身，或更具體地說是它的定義域，通常表示為 $\left\langle a_{i}\right\rangle$。

其思想是，你有一個來自該空間的無限元素列表；序列的第一個元素是 $f(1)$，下一個是 $f(2)$，等等。例如，考慮 $\mathbb {R}$ 中由 $f(n)=1/n$ 給出的序列。這僅僅是點 $1,1/2,1/3,1/4,...$。此外，考慮常數序列 $f(n)=1$。你可以將其視為數字 1，一遍又一遍地重複。

收斂性

設 $X$ 為一個集合，並設 ${\mathcal {T}}$ 為 $X$ 上的拓撲。
設 $\left\langle x_{i}\right\rangle$ 為 $X$ 中的一個序列，並設 $x\in X$

我們說“$\left\langle x_{i}\right\rangle$ 收斂到 $x$”如果對於 $x$ 的任何鄰域 $U$，都存在 $N\in \mathbb {N}$ 使得 $n\in \mathbb {N}$ 且 $n>N$ 共同蘊含 $x_{n}\in U$。

這寫成 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$。

練習

1. 給出以下自然數序列的嚴格描述
   (i) $1,2,3,4,5\dots$
   (ii) $2,-4,6,-8,10,\ldots$
   
2. 設 $X$ 為一個集合，並設 ${\mathcal {T}}$ 為 $X$ 上的一個拓撲。設 $x\in X$ 且 $U$ 為 $x$ 的一個鄰域。
   
   令$U_{1}\subset U$ 且 $x\in U_{1}$。類似地，構造鄰域$U_{i}\subset U_{i-1}$，其中$x\in U_{i}\forall i$。令$\left\langle x_{i}\right\rangle$ 為一個序列，使得每個 $x_{i}\in U_{i}$。
   
   證明$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x$