拓撲/集合中的點

一些重要的結構

令 $X$ 為拓撲空間，$A$ 為 $X$ 的任何子集。

閉包

• 如果 $x$ 的每個鄰域都包含至少一個 $A$ 的元素，則稱點 $x$ 為 $A$ 的閉包點。換句話說，對於 $x$ 的所有鄰域 $U$，$U\cap A\neq \emptyset$。
• 閉包 的所有閉包點的集合。它等價於包含 $A$ 作為子集的所有閉集的交集，記為 $\mathrm {Cl} (A)$（一些作者使用 ${\bar {A}}$）。或者，它是集合 $A$ 連同其所有極限點（定義如下）的集合。閉包有一個很好的性質，即它是最小的包含 $A$ 的閉集。閉包中每個點的所有鄰域都與 $A$ 相交。

內部

• 點 $x$ 是 $A$ 的內部點，如果存在 $A$ 的一個開子集包含 $x$。
• $A$ 的內部是所有包含在 $A$ 內部的開集的並集，記作 $\mathrm {Int} (A)$ （有些作者使用 $A^{\circ }$）。內部有一個很好的性質，它是包含在 $A$ 內部的最大開集。內部的每個點都有一個包含在 $A$ 內部的鄰域。它等價於 $A$ 的所有內部點的集合。

請注意，開集等於它的內部。

外部

• 定義 $A$ 的外部為所有包含在 $A$ 的補集內部的開集的並集，記作 $\mathrm {Int} (X\setminus A)$。它是 $X\setminus A$ 內部的最大開集。外部的每個點都有一個包含在 $X\setminus A$ 內部的鄰域。

邊界

• 定義 $A$ 的邊界為 $A$ 的閉包，不包括其內部，或者 $\mathrm {Cl} (A)\setminus \mathrm {Int} (A)$。它記為 $\mathrm {Bd} (A)$（一些作者更喜歡 $\partial A$）。邊界也稱為邊界。它總是閉合的，因為它是由閉合集 $\mathrm {Cl} (A)$ 和閉合集 $X\setminus \mathrm {Int} (A)$ 的交集。可以證明 $A$ 如果包含其所有邊界，則閉合，如果包含其所有邊界，則開放。邊界中每個點的每個鄰域都與 $A$ 和 $X\setminus A$ 相交。集合 $A$ 的所有邊界點顯然是 $A$ 的接觸點。

極限點

• 如果一個點的任意鄰域都與$A$至少有一個除$x$以外的點相交，則稱點$x$ 是$A$ 的極限點。換句話說，對於$x$ 的任何鄰域 $U$，$(U\setminus \{x\})\cap A\neq \emptyset$。顯然，$A$ 的所有極限點都是$A$ 的閉包點。

孤立點

• 如果一個點$x$ 具有一個不包含$A$ 的任何其他點的鄰域，則稱點$x$ 是$A$ 的孤立點。這等同於說$\{x\}$ 是拓撲空間$A$（視為$X$ 的子空間）中的一個開集。

稠密

定義：$A$ 被稱為稠密（或在 $X$ 中稠密），如果 $X$ 中的每個點要麼屬於 $A$，要麼是 $A$ 的極限點。非正式地說，$X$ 中的每個點要麼在 $A$ 中，要麼任意接近於 $A$ 中的一個成員。例如，有理數在實數中是稠密的，因為每個實數要麼是有理數，要麼有一個任意接近它的有理數。

等價地：$A$ 是稠密的，如果 $A$ 的閉包是 $X$。

定義：$A$ 是無處稠密（或在 $X$ 中無處稠密），如果 $A$ 的閉包的內部為空。也就是說，$A$ 的閉包不包含任何非空的開集。非正式地說，它是一個其點在任何地方都沒有緊密聚集的集合。例如，整數集合在實數集合中是無處稠密的。請注意，運算順序很重要：有理數集合有一個內部，其閉包為空，但它不是無處稠密的；實際上它在實數中是稠密的。

定義：一個G_σ 集是一個拓撲空間的子集，它是可數個開集的交集。

定義：一個F_σ 集是可數個閉集的並集。

定理

(豪斯多夫準則) 假設X有兩個拓撲，r₁ 和 r₂。對於每個 $x\in X$，令B¹_x 是拓撲r₁中x的鄰域基，B²_x 是拓撲r₂中x的鄰域基。則 $r_{1}\subseteq r_{2}$ 當且僅當在每個 $x\in X$，如果 $(B^{1}\in B_{x}^{1})(\exists (B^{2}\in B_{x}^{2})(B^{2}\subseteq B^{1}).$

定理

在任何拓撲空間中，開集的邊界是閉合的並且是無處稠密的。

證明
令A 是拓撲空間X中的一個開集。由於A 是開集，int(A) = A。因此，$\partial A$（即A的邊界）= ${\bar {A}}/int(A)$。注意 ${\bar {A}}/A={\bar {A}}\cap A^{c}$。開集的補集是閉集，任何集合的閉包都是閉集。因此，${\bar {A}}\cap A^{c}$ 是閉集的交集，本身也是閉集。拓撲空間的子集是無處稠密的，當且僅當其閉包的內部為空。因此，考慮A的邊界，進行如下推理。

A的邊界的閉包的內部等於A的邊界的內部。

因此，它等於 $int({\bar {A}}\cap A^{c})$。

它也等於 $int({\bar {A}})\cap int(A^{c})$。

並且，$int(A^{c})={\bar {[(A^{c})^{c}]}}^{c}$。所以，A的邊界的閉包的內部 = $int({\bar {A}})\cap int{\bar {(A^{c})}}$，因此，A的邊界是無處稠密的。

空間型別

我們還可以根據空間中包含的點型別對空間進行分類。

完美空間

• 如果一個空間不包含孤立點，那麼這個空間就是一個完全空間。

一些基本結果

• 對於每個集合 $A$； $A\subseteq \mathrm {Cl} (A)$ 以及 $\mathrm {Int} (A)\subseteq A$
  證明
  設 $x\in A$。如果一個閉集 $\alpha \supseteq A$，那麼 $x\in \alpha$。由於 $\mathrm {Cl} (A)=\displaystyle \bigcap _{\alpha \subset X}\alpha$ 對於閉集 $\alpha$；我們有 $x\in \mathrm {Cl} (A)$。 $x\in A$ 是任意的，因此 $A\subseteq \mathrm {Cl} (A)$
  設 $U\subseteq A$ 是一個開集。因此， $x\in A\forall x\in U$。由於 $\mathrm {Int} (A)=\displaystyle \bigcup _{U\subseteq A}U$ 對於開集 $U$；我們有 $x\in \mathrm {Int} (A)\forall x\in U$。 $U\subseteq A$ 是任意的，因此我們有 $\mathrm {int} (A)\subseteq A$

• 集合 $A$ 為開集當且僅當 $\mathrm {Int} (A)=A$。
  證明
  ($\Longrightarrow$)
  $A$ 是開集，且 $A\subseteq A$。因此，$A\subseteq \mathrm {Int} (A)$。但我們知道 $\mathrm {Int} (A)\subseteq A$，因此 $\mathrm {Int} (A)=A$
  ($\Longleftarrow$)
  由於 $\mathrm {Int} (A)$ 是開集的並集，因此它是開集（根據開集的定義）。所以 $A=\mathrm {Int} (A)$ 也是開集。

• 集合 $A$ 為閉集當且僅當 $\mathrm {Cl} (A)=A.$
  證明
  觀察到 $\mathrm {Cl} (A)$ 的補集滿足 $X\setminus \mathrm {Cl} (A)=\mathrm {Int} (X\setminus A)$。因此，所需的結果等價於語句 “$X\setminus A$ 是開集當且僅當 $\mathrm {Int} (X\setminus A)=X\setminus A$”。$A$ 是閉集意味著 $X\setminus A$ 是開集，因此我們可以使用之前的性質。

• 集合 $A$ 的閉包 $\mathrm {Cl} (A)$ 是閉集。
  證明
  設 $\alpha$ 為一個閉集，使得 $A\subseteq \alpha$。 現在， $\mathrm {Cl} (A)=\displaystyle \bigcap _{\alpha \subset X}\alpha$ 對於閉集 $\alpha$。 我們知道任意個閉集的交集是閉集，因此 $\mathrm {Cl} (A)$ 是閉集。

練習

1. 證明拓撲空間 $X$ 中子集 $A,B$ 以下恆等式:
   • $\mathrm {Cl} (A\cup B)=\mathrm {Cl} (A)\cup \mathrm {Cl} (B)$
   • $\mathrm {Cl} (A\cap B)\subseteq \mathrm {Cl} (A)\cap \mathrm {Cl} (B)$
   • $\mathrm {Int} (A)\cup \mathrm {Int} (B)\subseteq \mathrm {Int} (A\cup B)$
   • $\mathrm {Int} (A\cap B)=\mathrm {Int} (A)\cap \mathrm {Int} (B)$
2. 證明以下等式不一定成立（即給出一個拓撲空間和集合 $A$ 和 $B$ 的例子，它們不成立）
   • $\mathrm {Cl} (A\cap B)=\mathrm {Cl} (A)\cap \mathrm {Cl} (B)$
   • $\mathrm {Int} (A)\cup \mathrm {Int} (B)=\mathrm {Int} (A\cup B)$