拓撲/基

定義

令 $(X,{\mathcal {T}})$ 為拓撲空間。一個開集的集合 ${\mathcal {B}}$ 被稱為拓撲 ${\mathcal {T}}$ 的基，如果每個開集 $U$ 是 ${\mathcal {B}}$ 中集合的並集。

顯然 ${\mathcal {T}}$ 是它自己的基。

作為基的條件

在一個拓撲空間 $(X,{\mathcal {T}})$ 中，一個集合 ${\mathcal {B}}$ 是 ${\mathcal {T}}$ 的基當且僅當它由開集組成，並且對於每個點 $x\in X$ 和 $x$ 的開鄰域 $U$，存在一個集合 $B\in {\mathcal {B}}$ 使得 $x\in B\subseteq U$.

證明
我們需要證明， $U$ 是 $X$ 的一個子集是開的，當且僅當它是由 $B\in {\mathcal {B}}$ 中的元素的並集。然而，如果部分很明顯，因為 $B\in {\mathcal {B}}$ 中的元素是開的，任意個開集的並集也是開的。因此，我們只需要證明任何一個開集 $U$ 確實是這樣的並集。
令 $U$ 為任意一個開集。考慮任意元素 $x\in U$。根據假設，在 ${\mathcal {B}}$ 中至少存在一個元素，它既包含 $x$，又是 $U$ 的子集。根據選擇公理，我們可以對每個 $x\in U$ 同時選擇這樣的一個元素 $B_{x}\in {\mathcal {B}}$。所有這些元素的並集確實是 $U$。因此，任何開集都可以表示為 ${\mathcal {B}}$ 中的集合的並集。

從基構造拓撲

設 $X$ 為任意集合，${\mathcal {B}}$ 為 $X$ 的子集族。存在 $X$ 上的拓撲 ${\mathcal {T}}$ 使得 ${\mathcal {B}}$ 為 ${\mathcal {T}}$ 的基當且僅當 ${\mathcal {B}}$ 滿足以下條件：

1. 如果 $x\in X$，那麼存在一個 $B\in {\mathcal {B}}$ 使得 $x\in B$。
2. 如果 $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$ 且 $x\in B_{1}\cap B_{2}$，那麼存在一個 $B\in {\mathcal {B}}$ 使得 $x\in B\subseteq B_{1}\cap B_{2}$。

注： 第一個條件等價於說 ${\mathcal {B}}$ 中所有集合的並集為 $X$。

半基

令 $X$ 為任意集合，${\mathcal {S}}$ 為 $X$ 的子集的集合。那麼，${\mathcal {S}}$ 是一個半基，如果 X 的基可以由 ${\mathcal {S}}$ 的元素的有限交集形成。

練習

1. 證明集合 ${\mathcal {B}}=\{(a,b):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\}$，即 $\mathbb {R}$ 中所有開區間的集合，是 $\mathbb {R}$ 上拓撲的一個基。
2. 證明集合 ${\mathcal {C}}=\{[a,b]:a,b\in \mathbb {R} ,a<b\}$，即 $\mathbb {R}$ 中所有閉區間的集合，**不是** $\mathbb {R}$ 上拓撲的一個基。
3. 證明集合 ${\mathcal {L}}=\{(a,b]:a,b\in \mathbb {R} ,a<b\}$，即半開區間的集合，是 $\mathbb {R}$ 上拓撲的一個基。
4. 證明集合 ${\mathcal {S}}=\{[a,b):a,b\in \mathbb {R} ,a<b\}$，即半開區間的集合，是 $\mathbb {R}$ 上拓撲的一個基。
5. 令 $a,b\in \mathbb {R}$。劃分 ${\mathcal {P}}$ 在閉區間 $[a,b]\,\!$ 上定義為有序的 n 元組 $a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}<b\,\!$；範數 劃分 ${\mathcal {P}}$ 定義為 $\|{\mathcal {P}}\|=\sup\{x_{i}-x_{i-1}|2\leq i\leq n\}$
   對於每個 $\delta >0\,\!$，定義集合 $U_{\delta }=\{{\mathcal {P}}|\|{\mathcal {P}}\|\leq \delta \}$。
   如果 $X\,\!$ 是 $[a,b]\,\!$ 上所有劃分的集合，證明所有 $U_{\delta }\,\!$ 的集合是 $X\,\!$ 上拓撲的基。