拓撲學/拓撲空間

拓撲學
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在本節中，我們將定義什麼是拓撲，並給出一些例子和基本構造。

動機

在抽象代數中，域概括了實數線上運算的概念。這個一般定義允許透過與實數的比較來直觀地理解關於非常不同的數學物件的觀念。同樣，拓撲空間的概念關注於概括歐幾里得空間中集合的結構。當然，對於許多拓撲空間來說，相似性很遙遠，但有助於判斷並指導證明。歐幾里得空間中集合結構中有趣的差異，在拓撲空間中具有類比，是連通性、緊緻性、維數以及“洞”的存在。

如果我們從一個任意集合開始，可能並不立即清楚需要什麼來賦予它有趣的結構。一種可能性可能是定義集合上的度量，但事實證明，要求度量過於嚴格。實際上，有很多等價的方法來定義我們將稱為拓撲空間的東西，只需定義給定集合的子集族即可。拓撲空間的性質取決於子集的數量以及這些集合重疊的方式。拓撲空間可以是精細的或粗糙的，連通的或不連通的，具有很少或許多維度。

定義拓撲空間最流行的方式是根據開集，類似於歐幾里得空間中的開集。（在歐幾里得空間中，開集直觀地被看作是不包含其“邊界”的集合）。

拓撲空間的定義

假設我們給定兩個集合， $X$ 和 ${\mathcal {T}}$ ，其中 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 的子集的集合。

如果 ${\mathcal {T}}$ 具有以下性質

空集和 $X$ 都在 ${\mathcal {T}}$ 中，
${\mathcal {T}}$ 中任何（有限或無限）集合的並集本身也在 ${\mathcal {T}}$ 中，並且
${\mathcal {T}}$ 中任何有限集合的交集本身也在 ${\mathcal {T}}$ 中，

那麼 ${\mathcal {T}}$ 被稱為 $X$ 上的拓撲。有序對 $(X,{\mathcal {T}})$ 被稱為 拓撲空間。

拓撲空間的這個定義讓我們能夠重新定義開集。之前，我們將一個集合定義為開集，如果它包含它所有的內點，而集合的內部是由開球定義的，這需要一個度量。也就是說，我們需要某種距離概念來定義開集。拓撲空間沒有這樣的要求。事實上，上面給出的三個性質——而且只有它們——足以定義一個開集。我們的新定義如下

${\mathcal {T}}$ 的元素被稱為開集。

換句話說，開集是拓撲的一個元素。所以拓撲實際上是一個開集的集合。上面的規則描述了開集的行為：如果任意多個開集的並集是開集，有限多個開集的交集是開集，並且空間本身是開集，那麼一個集合可以被稱為開集。(空集預設情況下被認為是開集)。我們還說一個集合是閉集，如果它的補集是開集。如前所述，一個集合可以同時是開集和閉集：空間本身是開集，但由於它的補集(空集)是開集，因此它也是閉集。

實際上，我們與開集相關的性質，這些性質讓我們能夠研究許多拓撲概念(比如連續性和收斂性，這些概念之前是使用開集來定義的)，完全由上面描述的三個性質編碼，而無需任何距離度量。這實際上是一個非常抽象的定義，只使用集合論的最基本概念(子集、並集和交集)，它允許對作為拓撲空間研究的內容(以及如何將某物視為拓撲空間；在一個給定集合上可以選擇許多不同的拓撲)具有極大的靈活性。事實上，這個定義非常普遍，拓撲空間自然地出現在幾乎所有數學分支中，拓撲被認為是數學中偉大的統一主題之一。

所以，回顧一下：集合上的拓撲是一個包含空集和集合本身的子集的集合，並且對並集和有限交集是閉合的。拓撲中的集合是開集，它們的補集是閉集。一個 拓撲空間 是一個集合，以及它上的拓撲。

需要注意的一些事項

集合的開放性取決於**特定拓撲結構**。僅說一個集合是開放的，沒有嚴格意義。然而，在實際應用中，通常可以從上下文清楚地瞭解所考慮的拓撲結構。例如，假設我們有集合 $X=\{1,2,3\}$ ，以及集合 ${\mathcal {T}}=\{\emptyset ,\{1\},\{1,2,3\}\}$ 。 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 上的一個拓撲結構，人們會說集合 $\{1\}$ 是開放的。這指的是 $\{1\}$ 在 ${\mathcal {T}}$ 下是開放的。如果我們給出了另一個拓撲結構 ${\mathcal {T}}_{2}=\{\emptyset ,\{1,2,3\}\}$ ，那麼集合 $\{1\}$ 在 ${\mathcal {T}}$ 下是開放的，但在 ${\mathcal {T}}_{2}$ 下不是開放的。在這種情況下，僅僅說 $\{1\}$ 是開放的，就會造成歧義。（順便說一下，它在 ${\mathcal {T}}_{2}$ 下也不是閉合的，因為它的補集 $\{2,3\}$ 不是開放的）
雖然術語拓撲空間嚴格來說指的是有序對 $S=(X,{\mathcal {T}})$ （其中 $X$ 是一個集合，而 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 上的拓撲結構），通常拓撲空間 $S$ 與底層集合 $X$ 或拓撲結構 ${\mathcal {T}}$ 互換使用。通常根據上下文可以明確地知道指的是哪一個。例如，有人可能會說“假設 $S\subseteq \mathbb {R}$ 是一個拓撲空間，而區間 $I$ 是 $S$ 的子集。現在，假設 $I$ 是開放的...”等等。在這種情況下（假設作者沒有犯錯誤），指的是拓撲空間 $S$ 是有序對 $(X,{\mathcal {T}})$ ，其中 $X$ 是 $\mathbb {R}$ 的子集，而 $I$ 是 $X$ 的子集。在實數的情況下，通常拓撲結構 ${\mathcal {T}}$ 是 $\mathbb {R}$ 上的通常拓撲結構，其中開放集要麼是開區間，要麼是開區間的並集。
開集的無窮交集不一定是開集。例如，考慮形式為 $\left(-{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)$ 的開區間。對於所有正整數 $n$ 的值，這些區間的交集是集合 $\{0\}$ ，它在實數中不是開集。

拓撲空間的例子

對於任何集合 $X$ ，我們總可以在 $X$ 上定義兩種拓撲結構。

離散拓撲 - 包含集合 $X$ 的所有子集的拓撲結構。
平凡拓撲（也稱為離散拓撲） - 只包含 $X$ 和空集 $\emptyset$ 的拓撲結構。

度量拓撲

給定一個度量空間 $\ (X,d)\$ ，它的度量拓撲是使用所有開球的集合作為基而誘導的拓撲結構。我們也可以定義由度量誘導的拓撲結構，即由度量定義的所有開子集的集合。我們用 ${\mathcal {T}}$ 表示從度量 d 誘導的拓撲結構，其中 ${\mathcal {T}}=top(d)$ 。

這從度量空間形成拓撲空間。

如果對於一個拓撲空間 $(X,{\mathcal {T}})$ ，我們可以找到一個度量 $d$ ，使得 ${\mathcal {T}}=top(d)$ ，那麼這個拓撲空間被稱為可度量化的。

實數上的通常拓撲結構

我們可以定義一個拓撲 ${\mathcal {U}}$ 在 $\mathbb {R}$ 上，方法是定義 $U\subseteq \mathbb {R}$ 屬於 ${\mathcal {U}}$ 當且僅當對每個點 $x\in U$ ，存在一個 $\varepsilon >0$ 使得 $(x-\varepsilon ,x+\varepsilon )\subseteq U$ 。我們稱這種拓撲為標準拓撲或 $\mathbb {R}$ 上的通常拓撲。

任何集合上的有限餘拓撲

設 $X$ 為一個非空集合。定義 ${\mathcal {T}}$ 為 $X$ 的所有子集 $G$ 的集合，滿足以下條件：

要麼 $G=\emptyset$
要麼 $X\setminus G$ 是有限的。

(換句話說，開集是由從 $X$ 中移除有限個元素而形成的)

那麼 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 上的拓撲，稱為 $X$ 上的有限餘拓撲（或“有限補集拓撲”）。此外，這種拓撲當且僅當 $X$ 是有限的時，是離散的。

任何集合上的餘可數拓撲

設 $X$ 為一個非空集合。定義 ${\mathcal {T}}$ 為 $X$ 的所有子集 $G$ 的集合，滿足以下條件：

要麼 $G=\emptyset$
要麼 $X\setminus G$ 是可數的。

(換句話說，開集是由從 $X$ 中移除可數無限個元素而形成的)

那麼 ${\mathcal {T}}$ 是 $X$ 上的一個拓撲，稱為 $X$ 上的 **餘可數拓撲**（或“可數補拓撲”）。此外，這個拓撲只有在 $X$ 可數的情況下才是離散的。

拓撲空間中的集合

設 $X$ 為一個拓撲空間。我們可以定義 $X.$ 上許多型別的集合。

集合 A 在 X 中的補集，記為 $A^{C}$ ，是 $A^{C}=X\setminus A$ （即，整個空間減去 A）。
如果集合 $C$ 的補集 $C^{C}$ 是開集，則稱該子集 $C$ 為 **閉集**。請注意，任意多個閉集的交集是閉集，有限多個閉集的並集是閉集。
還要注意，一個集合可以同時是閉集和開集。空集 $\emptyset$ 和整個集合 $X$ 是最簡單的例子，它們既是開集又是閉集。根據定義， $\emptyset$ 是開集，因此它的補集 $X$ 是閉集。但 $X$ ，根據定義，是一個開集，因此 $X$ 既是開集又是閉集。
如果一個集合 $N$ 包含一個包含點 $x\in X$ 的開集，則稱集合 $N$ 為點 $x$ 的 **鄰域**。換句話說，如果存在開集 $U$ 使得 $x\in U\subseteq N.$ ，則 $N$ 是 $x$ 的鄰域。

接下來，我們探究拓撲學研究中一些常見的集合。

定義

在拓撲空間中， $G_{\delta }$ 集合 是可數個開集的交集。 $F_{\sigma }$ 集合 是可數個閉集的並集。

定理

$F_{\sigma }$ 集合的補集是 $G_{\delta }$ 集合，反之亦然。

證明
設 A 為 $F_{\sigma }$ 集合，設 $n\in \mathbb {N}$ 。那麼 A 是可數個閉集的並集， $\bigcup \limits _{n}^{}{A_{n}}$ ，使得 $A_{n}$ 對所有 n 都是閉集。那麼 $A^{c}=\bigcap \limits _{n}^{}{\left(A_{n}\right)^{c}}$ 。由於 $A_{n}$ 是閉集， $\left(A_{n}\right)^{c}$ 是開集，因此我們得到了可數個開集的交集。所以 $A^{c}$ 是 $G_{\delta }$ 集合。

另一個方向的證明完全類似，留給讀者完成。

定理

在任何度量空間中，閉集都是一個 $G_{\delta }$ 集。
證明：
令 X 為度量空間，並令 $A\subseteq (X,d)$ 。
定義 $O_{n}=\bigcup \limits _{n}{\left\{\beta _{1/n}(x)~\left|~x\in A\right.\right\}}$ 。觀察到 $O_{n}$ 對任何 n 都是開的，因此其並集是開的。現在我們的目標是證明 ${\bar {A}}=\bigcap \limits _{n}{O_{n}}$ ，以證明閉集是可數個開集的交集。

$\subseteq$ :
令 $x\in {\bar {A}}$ 。然後 $\beta _{1/n}(x)$ 與 A 在某個 $x_{0}$ 處相交，這意味著 $x\in \beta _{1/n}(x_{0})\subseteq O_{n}.$ 。這對於任何 n 都成立，因此 $x\in \bigcap \limits _{n}{O_{n}}$ 。

$\supseteq$ :
令 $x\in \bigcap \limits _{n}{O_{n}}$ 且 $\varepsilon >0$ 。則 $\exists ~n\in \mathbb {N}$ 使得 $1/n<\varepsilon$ 。所以 $x\in O_{n}\Rightarrow \exists ~x_{0}$ 在 A 中使得 $x\in \beta _{1/n}(x_{0})$ ，這表明 $x\in \beta _{\varepsilon }(x_{0})$ 。因此 $x\in {\bar {A}}$ .

因此 ${\bar {A}}=\bigcap \limits _{n}{O_{n}}$ 且為 $G_{\delta }$ 集。