拓撲/度量空間

拓撲
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在我們開始之前

在我們全面討論拓撲空間之前，我們將首先關注一種特殊的拓撲空間，即度量空間。這種抽象包含一個龐大且有用的特殊情況家族，因此值得特別關注。此外，這種抽象生動形象且易於理解；它將隨後引導我們進入拓撲空間的完整抽象。

度量空間

定義

一個度量空間是一個笛卡爾對 $(X,d)$ 其中 $X$ 是一個非空的集合且 $d:X\times X\to [0,\infty )$ ，是一個被稱為度量的函式，它滿足以下要求：對於所有的 $a,b,c\in X$

$d(a,b)=0$ 當且僅當 $a=b$
$d(a,b)=d(b,a)$ (對稱性)
$d(a,c)\leq d(a,b)+d(b,c)$ (三角不等式)

請注意，一些作者不要求度量空間是非空的。當我們討論帶有度量 $d$ 的度量空間 $X$ 時，我們將使用符號 $(X,d)$ 來表示。

例子

一個重要的例子是離散度量。它可以定義在任何非空集 X 上，如下所示

d(x,y)={\begin{cases}1&:x\neq y\\0&:x=y\end{cases}}

在實數集 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 上，定義 $d(x,y)=|x-y|$ $d(x,y)=|x-y|$ （ $x$ $x$ 和 $y$ $y$ 之間的絕對距離）。
為了證明這確實是度量空間，我們必須證明 $d$ $d$ 確實是度量。首先，對於任何實數 $x$ $x$ 和 $y$ $y$ ，都有 $d(x,y)=|x-y|\geq 0$ $d(x,y)=|x-y|\geq 0$ 。
- $d(x,y)=|x-y|=0\iff (x-y)=0\lor -(x-y)=0\iff x=y$
- $d(x,y)=|x-y|=|y-x|=d(y,x)$
- $d(x,z)=|x-z|=|x-y+y-z|={\bigr |}(x-y)+(y-z){\bigr |}\leq |x-y|+|y-z|=d(x,y)+d(y,z)$
將平面 $\mathbb {R} ^{2}$ 作為空間，並令 $d{\bigl (}(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}){\bigr )}={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}$ .

這是

(x_{1},y_{1})

和

(x_{2},y_{2})

之間的歐幾里得距離。

我們可以將上述兩個例子推廣。令 $V$ 為一個賦範向量空間（在 $\mathbb {R}$ 或 $\mathbb {C}$ 上）。我們可以定義度量為： $d(x,y)=\|x-y\|$ 。因此每個賦範向量空間都是一個度量空間。
對於向量空間 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ ，我們有一個有趣的範數。令 $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ 和 $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ $y=(y_{1},\ldots ,y_{n})$ 是 $\mathbb {C} ^{n}$ $\mathbb {C} ^{n}$ 中的兩個向量。我們定義 p-範數： $\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ $\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ 。對於每個 $p$ $p$ -範數，都存在一個基於它的度量。 $p$ $p$ 的一些有趣情況是
- $p=1$ 。該度量是 $d(x,y)=\|x-y\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|$
- $p=2$ 。該度量就是我們熟知的歐幾里得度量 $d(x,y)=\|x-y\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{2}}}$
- $p=\infty$ 。這有點令人驚訝： $d(x,y)=\|x-y\|_{\infty }=\max _{i=1\ldots n}{\bigl \{}|x_{i}-y_{i}|{\bigr \}}$
  
  作為練習，你可以證明 $\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}=\max _{i=1\ldots n}\{|x_{i}|\}$ ，從而證明了 $\|\cdot \|_{\infty }$ 的定義是合理的。
球面上兩點之間的大圓距離是一種度量。
希爾伯特空間是無限序列空間上的度量空間， $\{a_{k}\}$ 使得 $\sum _{i=1}^{\infty }a_{k}^{2}$ 收斂，度量為 $d{\bigl (}\{a_{i}\},\{b_{i}\}{\bigr )}={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }(a_{i}-b_{i})^{2}}}$ .
埃爾德什數的概念暗示了所有數學家集合上的度量。設 $x,y$ 是兩個數學家，定義 $d(x,y)$ 為：如果 $x,y$ 是同一個人，則為 0；如果 $x,y$ 共同發表過論文，則為 1；如果最短的序列 $(\{x,a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\},\ldots ,\{a_{n-1},y\})$ （其中每一步都將兩個共同發表過論文的人配對）長度為 $n$ ，則為 $n$ ；如果 $x\neq y$ 且不存在這樣的序列，則為 $\infty$ .
這個度量可以很容易地推廣到任何自反關係（或無向圖，它們是相同的）。
請注意，如果我們改為定義 $d(x,y)$ 為 $x,y$ 的埃爾德什數之和，那麼 $d$ 將不會是度量，因為它將不滿足 $d(x,y)=0\iff x=y$ 。例如，如果 $x=y$ = 斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆，則 $d(x,y)=2$ .

注意

在本章中，我們將參考度量空間。每個度量空間都帶有一個度量函式。因此，度量函式可能不會被明確提及。有幾個原因

我們不想使文字過於模糊。
我們對它沒有特別要說的。
空間具有“自然”度量。例如， $\mathbb {R} ^{n},\mathbb {C} ^{n}$ 的“自然”度量是歐幾里得度量 $d_{2}$ 。

由於這是一個維基，如果您出於某種原因認為該度量值得一提，您可以更改文字（如果您確信您知道自己在做什麼）或在討論頁面中報告它。

開球

動機

開球是度量空間拓撲的基石。我們將透過它定義直觀的拓撲定義（稍後將轉換為真正的拓撲定義），並將微積分定義的屬性（如收斂和連續性）轉換為它們的拓撲定義。我們將嘗試展示如何用“開球語言”來寫度量空間的許多定義。然後我們可以立即將定義轉換為拓撲定義。

定義

給定一個度量空間 $(X,d)$ ，以 $r$ 為半徑，以 $p$ 為中心的**開球**定義為集合

B_{r}(p)={\bigl \{}x\in X:d(x,p)<r{\bigr \}},(r\in \mathbb {R} ^{+})

直觀地說，它是空間中所有距離某一點 $p$ 小於 $r$ 的所有點。

例子

為什麼這被稱為球？讓我們看看 $\mathbb {R} ^{3}$ 的情況

d{\bigl (}(x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3}){\bigr )}={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}+(x_{3}-y_{3})^{2}}}

因此 $B_{r}{\bigl (}(0,0,0){\bigr )}$ 恰好是 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}<r^{2}$ – 中心為球 $(0,0,0)$ ，半徑為 $r$ 。在 $\mathbb {R} ^{3}$ 中，這個球被稱為開球，因為它不包含球面 ( $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=r^{2}$ )。

單位球 是半徑為 1 的球。讓我們看看一些 $B_{1}{\bigl (}(0,0){\bigr )}$ $\mathbb {R} ^{2}$ 的單位球的例子，它們有不同的 $p$ -範數誘導的度量。 $\mathbb {R} ^{2}$ 使用範數 $\|\cdot \|_{p}$ 的單位球是

B_{1}{\bigl (}(0,0){\bigr )}={\Big \{}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:d{\bigl (}(x,y),(0,0){\bigr )}<1{\Big \}}={\Big \{}(x,y):{\bigl \|}(x,y)-(0,0){\bigr \|}_{p}<1{\Big \}}={\Big \{}(x,y):\|(x,y)\|_{p}<1{\Big \}}={\Big \{}(x,y):{\sqrt[{p}]{|x|^{p}+|y|^{p}}}<1{\Big \}}

由 $\|\cdot \|_{1}$ 誘導的度量，在這種情況下，單位球為： $|x|+|y|<1$

由 $\|\cdot \|_{2}$ 誘導的度量，在這種情況下，單位球為： ${\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<1$

由 $\|\cdot \|_{\infty }$ 誘導的度量，在這種情況下，單位球為： $\max {\bigl \{}|x|,|y|{\bigr \}}<1$

正如我們所見，單位球不必看起來像一個真正的球。事實上，有時單位球可能是一個點。

離散度量，單位球為 $B_{1}{\bigl (}(0,0){\bigr )}={\Big \{}d{\bigl (}(0,0),(x,y){\bigr )}<1{\Big \}}={\Big \{}d{\bigl (}(0,0),(x,y){\bigr )}=0{\Big \}}=\{(0,0)\}$

集合的內部

定義

定義：我們說 x 是 A 的內點當且僅當存在一個 $\epsilon >0$ 使得： $B_{\epsilon }(x)\subseteq A$ 。直觀地，這意味著 x 確實是 "在" A 的 "內部" - 因為它包含在 A 內部的球體中 - 它不靠近 A 的邊界。

圖示

內點	非內點

定義：集合 A 的內部是 A 中所有內點的集合。集合 A 的內部用 $\operatorname {int} (A)$ 表示。常用的表示法： $\operatorname {int} (S)=\{x\in S|x{\text{ is an interior point of }}S\}$ 和 $\operatorname {int} (S)=\cup \{A\subseteq S|A{\text{ is open }}\!\!\}\!\!{\text{ }}$ 。

性質

int 的一些基本性質（對於任意集合 A,B）

$\operatorname {int} (A)\subseteq A$
$\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)\,$
$\operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)$
$A\subseteq B\Rightarrow \operatorname {int} (A)\subseteq \operatorname {int} (B)$

第一個性質的證明
我們需要證明： $x\in \operatorname {int} (A)\implies x\in A$ 。但這很簡單！根據定義，我們有 $x\in B_{\epsilon }(x)\subseteq A$ ，因此 $x\in A$

第二個性質的證明
為了證明 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))=\operatorname {int} (A)\,$ ，我們需要證明 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))\subseteq \operatorname {int} (A)$ 和 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))\supseteq \operatorname {int} (A)$ 。
" $\subseteq$ " 方向已經證明：對於任意集合 A，如果 $\operatorname {int} (A)\subseteq A$ ，那麼將 $\operatorname {int} (A)$ 作為該集合，我們得到 $\operatorname {int} (\operatorname {int} (A))\subseteq \operatorname {int} (A)$ 。
" $\supseteq$ " 方向
令 $x\in \operatorname {int} (A)$ 。我們需要證明 $x\in \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))$ 。
如果 $x\in \operatorname {int} (A)$ ，那麼存在一個球 $B_{\epsilon }(x)\subseteq A$ 。現在，球 $B_{\frac {\epsilon }{2}}(x)$ 中的每個點 y 都是 A 的內點（在 $\operatorname {int} (A)$ 內部），因為其周圍存在一個球體，該球體位於 A 內部： $y\in B_{\frac {\epsilon }{2}}(x)\implies B_{\frac {\epsilon }{2}}(y)\subset B_{\epsilon }(x)\subset A$ 。
我們有 $x\in B_{\frac {\epsilon }{2}}(x)\subset \operatorname {int} (A)$ （因為它的每個點都在 $\operatorname {int} (A)$ 內），根據定義， $x\in \operatorname {int} (\operatorname {int} (A))$ .
提示：為了更好地理解，請自己繪製 $x,B_{\epsilon }(x),B_{\frac {\epsilon }{2}}(x),y,B_{\frac {\epsilon }{2}}(y)$ .

其餘證明留給讀者。

提醒

[a, b] : 所有滿足 $a\leq x\leq b$ 的所有點 x
(a, b) : 所有滿足 $a<x<b$ 的所有點 x

示例

對於度量空間 $\mathbb {R}$ （直線），我們有

$int([a,b])=(a,b)$
$int((a,b])=(a,b)$
$int([a,b))=(a,b)$
$int((a,b))=(a,b)$

讓我們證明第一個例子 ( $int([a,b])=(a,b)$ ）。令 $x\in (a,b)$ （即： $a<x<b$ ），我們將證明 $x$ 是一個內點。
令 $\epsilon =\min\{x-a,b-x\}$ 。注意 $x+\epsilon \leq x+b-x=b$ 以及 $x-\epsilon \geq x-x+a=a$ 。因此 $B_{\epsilon }(x)=(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset (a,b)$ 。
我們已經證明了在 $(a,b)$ 中的每個點 x 都是內點。那麼 $a,b$ 呢？讓我們證明它們不是內點。如果 $a$ 是 $[a,b]$ 的內點，那麼就會存在一個球 $B_{\epsilon }(a)\subset [a,b]$ 。但是，這意味著點 $a-{\frac {\epsilon }{2}}$ 位於 $[a,b]$ 裡面。但是，由於 $a-{\frac {\epsilon }{2}}<a$ ，這與之前的結論矛盾。同樣地，我們可以證明 b 也不是內點。
總之，集合 $(a,b)$ 包含了 $[a,b]$ 的所有內點。我們可以標記 $int([a,b])=(a,b)$

開集

定義

如果一個集合在度量空間中等於其內部 ( $A=Int(A)$ )，那麼這個集合被稱為開集。當我們遇到拓撲空間時，我們將對開集的定義進行推廣。但是，度量空間中的開集的定義與將度量空間視為拓撲空間時的定義相同。

性質

空集是一個開集（根據定義： $int(\emptyset )=\emptyset$ ）。
開球是一個開集。
對於任何集合 B，int(B) 都是一個開集。這是顯而易見的，因為：int(int(B))=int(B)。
如果 A、B 為開集，那麼 $A\cap B$ 為開集。因此，有限個開集的交集是開集。
如果 ${A_{i}:i\in I}$ （對於任何指標集 I）是開集，那麼它們的並集 $\cup _{i\in I}A_{i}$ 是開集。

命題 2 的證明
設 $B_{r}(x)$ 是一個開球。設 $y\in B_{r}(x)$ 。那麼 $y\in B_{r-d(x,y)}(y)\subseteq B_{r}(x)$ 。
在下面的圖中，綠線是 $d(x,y)$ ，棕色線是 $r-d(x,y)$ 。我們找到了一個包含 $y$ 的球體，它在 $B_{r}(x)$ 內。

命題 4 的證明
A 和 B 是開集。我們需要證明 $int(A\cap B)=A\cap B$ 。由於 int 的第一個性質，我們只需要證明 $int(A\cap B)\supseteq A\cap B$ ，這意味著 $\forall x\in A\cap B:x\in int(A\cap B)$ 。令 $x\in A\cap B$ 。我們也知道， $x\in int(A),x\in int(B)$ ，這是由於前提 A、B 是開集，且 $x\in A,x\in B$ 。這意味著存在球： $B_{{\epsilon }_{1}}(x)\subset A,B_{{\epsilon }_{2}}(x)\subset B$ 。令 $\epsilon =\min\{{\epsilon _{1},\epsilon _{2}}\}$ ，我們有 $B_{\epsilon }(x)\subset A,B_{\epsilon }(x)\subset B\Rightarrow B_{\epsilon }(x)\subset A\cap B$ 。根據內點的定義，我們有 $x\in int(A\cap B)$ ( $B_{\epsilon }(x)$ 是所需的球)。

有趣的是，這個性質並不一定適用於開集的無窮交集。為了在實數軸上看到一個例子，令 $A_{n}=\{(-1/n,1/n)\}$ 。然後我們看到 $\cap _{i=1}^{\infty }A_{i}=\{0\}$ ，它是一個閉集。

證明 5
證明開集的並集是開集，是非常簡單的：令 ${A_{i}:i\in I}$ （對於任何索引集 I）為一組開集。我們需要證明 $int(\cup _{i\in I}A_{i})\supseteq \cup _{i\in I}A_{i}$ ：如果 $x\in A_{i}$ 那麼它有一個球 $B_{\epsilon }(x)\subset A_{i}\subseteq \cup _{i\in I}A_{i}$ 。使一點在 $A_{i}$ 中成為內點的同一個球，也會使它在 $\cup _{i\in I}A_{i}$ 中成為內點。

命題：一個集合是開集，當且僅當它是開球的並集。
證明：令 A 為開集。根據定義，如果 $x\in A$ 那麼存在一個球 $B_{\epsilon _{x}}(x)\subseteq A$ 。然後我們可以將 A 表示為： $A=\cup _{x\in A}B_{\epsilon _{x}}(x)$ 。這個等式成立是因為： $\cup _{x\in A}B_{\epsilon _{x}}(x)\subseteq A$ 因為 $\forall x\in A:B_{\epsilon _{x}}(x)\subseteq A$ 。 $\cup _{x\in A}B_{\epsilon _{x}}(x)\supseteq A$ 因為在每個球中都有元素 $x$ ，我們聯合了 A 中所有元素的球。
另一方面，開球的並集是開集，因為所有開集的並集都是開集。

例子

正如我們所見，每個開球都是開集。
對於任何具有離散度量的空間 $X$ ，每個集合都是開集。

證明：設 $U$ 為一個集合。我們需要證明，如果 $x\in U$ 則 $x$ 是一個內點。讓我們使用以 $x$ 為中心，半徑為 ${\frac {1}{2}}$ 的球。我們有 $B_{\frac {1}{2}}(x)=\{y\mid d(x,y)<{\frac {1}{2}}\}=\{x\}\subseteq U$ 。因此 $x$ 是一個內點。

空間 $\mathbb {R}$ 具有普通度量。每個開區間 $(a,b)$ 是一個開集。這個證明類似於我們之前見過的證明 $int([a,b])=(a,b)$ 。

定理

在任何度量空間 X 中，以下三個陳述成立

1) 任意多個開集的並集是開集。

證明： 設

C

是一個開集的集合，令

x\in \cup C

。那麼存在一個

U\in C

使得

x\in U

。

因此存在一個

\epsilon >0

使得

B_{\epsilon }(x)\subseteq U

。因此

B_{\epsilon }(x)\subseteq \cup C

.

2) 有限多個開集的交集是開集。

證明： 設

x\in \cap C

，其中

C

是一個有限的開集集合。

所以

x\in U

對於每個

U\in C

。設

C={U_{1},U_{2},...,U_{n}}

。對於每個

i=1,2,3,...,n

，存在一個

\epsilon _{i}>0

使得

B_{\epsilon }(x)\subseteq U_{i}

。設

\epsilon =min_{i}

{

\epsilon _{i}

}. 因此

\epsilon >0

並且

B_{\epsilon }(x)\subseteq \cap C

.

3) 空集和 _X_ 都是開集。

定理

在任何度量空間 _X_ 中，以下陳述成立

1) 任意數量的閉集的交集是閉集。

2) 有限數量的閉集的並集是閉集。

收斂

定義

首先，讓我們將微積分中的收斂定義翻譯成度量空間的“語言”：我們說一個序列 $x_{n}$ 收斂於 $x$ ，如果對於每一個 $\epsilon >0$ 存在一個 $N$ ，使得對於每個 $n^{*}>N$ ，以下成立： $d(x_{n^{*}},x)<\epsilon$ .
等價地，我們可以使用開球來定義收斂：序列 $x_{n}$ 收斂到 $x$ 如果對於每個 $\epsilon >0$ 都存在 $N$ 使得對於每個 $n^{*}>N$ 以下成立： $x_{n^{*}}\in B_{\epsilon }(x)$ 。

後一個定義使用了開球的“語言”，但我們可以做得更好 - 我們可以從收斂定義中去掉 $\epsilon$ ，從而使定義更加拓撲。讓我們定義 $x_{n}$ **收斂** 到 $x$ （並標記為 $x_{n}\rightarrow x$ ），如果對於**每個球** $B$ 包含 $x$ ，都存在 $N_{B}$ 使得對於每個 $n^{*}>N_{B}$ 以下成立： $x_{n^{*}}\in B(x)$ 。 $x$ 稱為該序列的極限。

這些定義都是一樣的，但後一個使用拓撲術語，並且可以很容易地轉換為拓撲定義。

性質

如果一個序列有極限，它只有一個極限。
證明令序列 $x_{n}$ 有兩個極限， $x\,$ 和 $x^{\prime }$ 。如果它們不相同，我們必須有 $0<d(x,x^{\prime })$ 。令 $\epsilon$ 小於這個距離。現在對於某些 $N$ ，對於所有 $n>N$ ，它必須是 $x_{n}\in B_{\epsilon /2}(x)$ 和 $x_{n}\in B_{\epsilon /2}(x^{\prime })$ ，根據 $x\,$ 和 $x^{\prime }$ 是極限的事實。但這不可能；這兩個球是分開的。因此極限是重合的，即序列只有一個極限。
如果 $x_{n}\rightarrow x$ ，那麼幾乎根據定義，我們得到 $d(x_{n},x)\rightarrow 0$ 。（ $d(x_{n},x)$ 是距離序列）。

例子

在 $\mathbb {R}$ 上使用自然度量，級數 $x_{n}={\frac {1}{n}}$ 收斂到 $0$ 。我們記為： ${\frac {1}{n}}\rightarrow 0$
任何使用離散度量的空間，級數 $x_{n}$ 收斂，當且僅當它最終為常數。換句話說： $x_{n}\rightarrow x$ 當且僅當，我們可以找到 $N$ 使得對於每個 $n^{*}>N$ ， $x_{n^{*}}=x$
一個你可能已經知道的例子

空間 $\mathbb {R} ^{k}$ ，對於任何當 $p\geq 1$ 的 p-範數誘導度量。令 ${\vec {x_{n}}}=(x_{n,1},x_{n,2},\cdots ,x_{n,k})$ 。並且令 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{k})$ 。
那麼， ${\vec {x_{n}}}\rightarrow {\vec {x}}$ 當且僅當 $\forall i,1\leq i\leq k:x_{n,i}\rightarrow x_{i}$ 。

一致收斂

如果對於任何 $\epsilon >0$ ，存在一個 $N$ ，使得當 $a$ 和 $b$ 都大於 $N$ 時，則 $d(f_{a}(x),f_{b}(x))<\epsilon$ 對於任何 $x\in S$ 成立，則稱函式序列 $\{f_{n}\}$ 在集合 $S$ 上一致收斂。

閉集

閉包

定義：如果存在一個序列 $a_{n},\forall n,a_{n}\in A$ ，使得 $a_{n}\rightarrow p$ ，則稱點 $p$ 為集合 $A$ 的閉包點。

換句話說，點 $p$ 是集合 $A$ 的閉包點，如果存在一個在 $A$ 中的序列收斂於 $p$ 。注意， $p$ 不一定屬於集合 $A$ 。

使用球體給出等效的定義：點 $p$ 被稱為集合 $A$ 的閉包點，如果對於包含 $p$ 的每個開球 $B$ ，我們有 $B\cap A\neq \emptyset$ 。換句話說，每個包含 $p$ 的開球都包含 $A$ 中至少一個與 $p$ 不同的點。
證明留作練習。

直觀上，閉包點與集合 $A$ “任意”接近。它是如此接近，以至於我們可以在該集合中找到一個收斂到該集合的任何閉包點的序列。

示例：令 A 為線段 $[0,1)\in \mathbb {R}$ ，點 $p=1$ 不在 $A$ 中，但它是一個閉包點：令 $a_{n}=1-{\frac {1}{n}}$ 。 $a_{n}\in A$ ( $n>0$ ，因此 $a_{n}=1-{\frac {1}{n}}<1$ ) 並且 $a_{n}\rightarrow 1$ （因為 ${\frac {1}{n}}\rightarrow 0$ ）。

定義：集合 $A\subseteq X$ 在度量空間 $({X},d)$ 中的閉包是包含所有聚點的集合。集合 A 的閉包用 ${\bar {A}}$ 或 $Cl(A)$ 表示。

請注意 $A\subseteq {\bar {A}}$ 。一個簡短的證明：對於每一個 $x\in A$ ，令 $(a_{n}=x)\forall n$ 。

例子

對於度量空間 $\mathbb {R}$ （實數直線），令 $a,b\in \mathbb {R}$ ，我們有

$Cl([a,b])=[a,b]$
$Cl((a,b])=[a,b]$
$Cl([a,b))=[a,b]$
$Cl((a,b))=[a,b]$

閉集

定義：集合 $A\subseteq X$ 在 ${X}\,$ 中是閉合的，如果 $A=Cl(A)$ 。
意思：一個集合是閉合的，如果它包含了它所有的聚點。

等效的定義是：集合 $A\subseteq X$ 在 ${X}\,$ 中是閉合的，如果對於每個點 $p\in A$ ，並且對於每個球 $B,p\in B$ ，那麼 $B\cap A\neq \emptyset$ 。
該定義的證明直接來自於前一個定義和收斂的定義。

性質

Cl 的一些基本性質（對於任意集合 $A,B$ ）

$A\subseteq Cl(A)$
$Cl(Cl(A))=Cl(A)$
$Cl(A\cup B)=Cl(A)\cup Cl(B)$
$A$ 是閉合的當且僅當 $A=Cl(A)$
雖然以上表明有限個閉合集的並集也是閉合集，但對於無限個閉合集的並集，則不一定是這樣。例如在實數軸上，設 $A_{n}=\{[-1+{\frac {1}{n}},1-{\frac {1}{n}}]\}$ 。我們可以看到 $\cup _{i=1}^{\infty }A_{i}=(-1,1)$ 沒有包含它的閉包點，即 $\pm 1.$

因此，這個並集不是實數的閉合子集。

證明留給讀者作為練習。第 5 個提示：回憶 $Cl(A)=\cap \{A\subseteq S|S{\text{ is closed }}\!\!\}\!\!{\text{ }}$ 。

開集與閉集

也就是說，開集接近邊界但不包含邊界，而閉合集包含它接近的每個點。這兩個性質看起來是互斥的，但並非如此。

在任何度量空間 $(X,d)$ 中，集合 $X$ 既是開集又是閉集。

在任何具有離散度量的空間中，每個集合都是既開集又是閉集。

在 $\mathbb {R}$ 中，在普通度量下，唯一既是開集又是閉集的集合是 $\mathbb {R}$ 和 $\emptyset$ 。然而，一些集合既不是開集也不是閉集。例如，像 $[0,1)$ 這樣的半開區間既不是開集也不是閉集。再舉一個例子，有理數集合不是開集，因為圍繞有理數的開球包含無理數；它也不是閉集，因為存在收斂於無理數的有理數序列（比如各種收斂於 $\pi$ 的無窮級數）。

補集

提醒/定義：設 $A$ 是空間 $X$ 中的集合。我們定義 $A$ 的補集 $A^{c}$ 為 $X\setminus A$ 。

一個快速示例：設 $X=[0,1];A=[0,{\frac {1}{2}}]$ 。那麼 $A^{c}=({\frac {1}{2}},1]$ 。

故事繼續...

一個非常重要的命題：設 $A$ 是空間 $(X,d)$ 中的集合。那麼，A 是開集當且僅當 $A^{c}$ 是閉集。
證明： ( $\Rightarrow$ ) 對於第一部分，我們假設 A 是一個開集。我們將證明 $A^{c}=Cl(A^{c})$ 。由於閉包的性質，證明 $Cl(A^{c})\subseteq A^{c}$ 就足夠了。設 $p\in Cl(A^{c})$ （我們將證明 $p\in A^{c}$ ）。
對於每個球體 $B,p\in B$ ，根據定義我們有 (*) $B\cap A^{c}\neq \emptyset$ 。如果該點不在 $A^{c}$ 中，則 $p\in A$ 。 $A$ 是開集，因此，存在一個球體 $B$ ，使得： $p\in B\subseteq A$ ，這意味著 $B\cap A^{c}=\emptyset$ ，與 (*) 矛盾。
( $\Leftarrow$ ) 另一方面，假設 $A^{c}$ 是閉集，並證明 $A$ 是開集。令 $p$ 為 $A$ 中的一點（我們將證明 $p\in int(A)$ ）。如果 $p$ 不在 $int(A)$ 中，那麼對於每個球體 $B,p\in B$ ，我們都有 $B\nsubseteq A$ 。這意味著 $B\cap A^{c}\neq \emptyset$ 。根據閉包點的定義， $p$ 是 $A^{c}$ 的閉包點，因此可以說 $p\in Cl(A^{c})$ 。 $A^{c}$ 是閉集，因此 $p\in A^{c}=Cl(A^{c})$ 。這與假設 $p\in A$ 相矛盾。

請注意，如前所述，一個集合仍然可以是**既開又閉**的！

在 $\mathbb {R}$

以下是表徵 $\mathbb {R}$ 上開集和閉集的重要定理。
定理： $\mathbb {R}$ 中的開集 $O$ 是可數個不相交開區間的並集。
證明：設 $x\in O$ 。設 $a=\sup\{t|t\notin O,t<x\}$ ，設 $b=\inf\{t|t\notin O,t>x\}$ 。因為 $O$ 是開集，所以存在一個開球 $(x-\epsilon ,x+\epsilon )$ 使得 $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq O$ 。因此，a≤x-ε 且 b≥x+ε。因此，x ∈(a,b)。集合 O 包含 (a,b) 中的所有元素，因為如果一個數大於 a，且小於 x 但不在 O 內，那麼 a 就不會是 {t|t∉O, t<x} 的上確界。類似地，如果存在一個數小於 b 且大於 x，但不在 O 內，那麼 b 就不會是 {t|t∉O, t>x} 的下確界。因此，O 還包含 (a,x) 和 (x,b)，因此 O 包含 (a,b)。如果 y≠x 且 y∈(a,b)，那麼由該元素構造的區間將與之前相同。如果 y<a，那麼 inf{t|t∉O, t>y} 也將小於 a，因為存在一個在 y 和 a 之間的數不在 O 內。類似地，如果 y>b，那麼 sup{t|t∉O, t<y} 也將大於 b，因為存在一個在 y 和 b 之間的數不在 O 內。因此，由上述過程構造的所有可能的開區間都是不相交的。由元素 x 構造的所有這些開區間的並集就是 O，所以 O 是不相交開區間的並集。因為有理數在 R 中稠密，所以每個開區間內都存在一個有理數，而且因為有理數是可數的，所以開區間本身也是可數的。

閉集的例子

在任何度量空間中，單點集 $\{x\}$ 是閉集。要理解這一點，考慮開集 $\{x\}^{c}$ 。令 $y\in \{x\}^{c}$ 。則 $y\neq x$ ，因此 $d(y,x)>0$ 。令 $\epsilon ={\frac {1}{2}}d(y,x)$ 。則 $B_{\epsilon }(y)\subseteq \{x\}^{c}$ 。所以 $\{x\}^{c}$ 是開集，因此 $\{x\}$ 是閉集。
在任何度量空間中，每個有限集 $T=\{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}$ 是閉集。要理解這一點，觀察到 $T^{c}={\Big [}\bigcup \{x_{i}\}{\Big ]}^{c}=\bigcap \{x_{i}\}^{c}$ 是開集，因此 $T$ 是閉集。
閉區間 [a,b] 是閉集。
康托爾集 考慮區間 [0,1]，並將其稱為 C₀。令 A₁ 等於 {0, ${\tfrac {2}{3}}$ }，並令 d_n = $({\tfrac {1}{3}})^{n}$ 。令 A_n+1 等於集合 A_n∪{x|x=a+2d_n, a∈A_n}。令 C_n 為 $\textstyle \bigcup _{a\in A_{n}}$ {[a,a+d_n]}，它是閉集的有限並，因此是閉集。然後交集 $\textstyle \bigcap _{i=1}^{\infty }{C_{i}}$ 被稱為康托爾集，它是閉集。

習題

證明一個點 x 存在一個收斂於 x 的點序列，當且僅當所有包含 x 的球都至少包含 X 內的一個元素。
在 $\mathbb {R}$ 中，唯一既是開集又是閉集的集合是空集和整個集合。但當我們觀察 $\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$ 時，情況就不一樣了。請給出一個在 $\mathbb {Q}$ 中既是開集又是閉集的集合的例子。
令 $A$ $A$ 是空間 $x$ $x$ 中的一個集合。證明以下結論
1. $Cl(A)=Int(A^{c})^{c}$
2. $Int(A)=Cl(A^{c})^{c}$

連續性

定義

讓我們回顧一下函式連續性的概念。直觀地說，連續性意味著你可以在紙上畫出函式，而無需抬起筆。連續性在拓撲學中很重要。但讓我們從頭開始。

經典的 delta-epsilon 定義：令 $(X,d),(Y,e)$ 是空間。函式 $f:X\rightarrow Y$ 在點 $x$ 處是連續的，如果對於所有的 $\epsilon _{x}>0$ ，存在一個 $\delta _{\epsilon _{x}}>0$ 使得：對於所有的 $x_{1}$ ，只要 $d(x,x_{1})<\delta _{\epsilon _{x}}$ ，就有 $e(f(x),f(x_{1}))<\epsilon _{x}$ 。

讓我們用球體重新表述定義：一個函式 $f:X\rightarrow Y$ 在點 $x$ 處連續，如果對於所有 $\epsilon _{x}>0$ 都存在 $\delta _{\epsilon _{x}}>0$ 使得以下成立：對於所有 $x_{1}$ ，只要 $x_{1}\in B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x)$ ，我們就有 $f(x_{1})\in B_{\epsilon _{x}}(f(x))$ 。或者更簡潔地說： $f(B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x))\subseteq B_{\epsilon _{x}}(f(x))$

看起來已經好多了！但我們還可以做得更多。

定義

如果一個函式在一個集合 S 上的每個點都連續，則該函式在集合 S 上連續。
如果一個函式在其整個定義域上連續，則該函式連續。

命題：一個函式 $f:X\rightarrow Y$ 連續，根據上面定義 $\Leftrightarrow$ 對於 $Y$ 中的每個開集 $U$ ， $U$ 的逆像， $f^{-1}(U)$ ，在 $X$ 中是開的。也就是說， $Y$ 中每個開集的逆像在 $X$ 中是開的。
請注意 $f$ 不必是滿射或雙射， $f^{-1}$ 仍然是定義良好的。符號 $f^{-1}$ 僅僅表示 $f^{-1}(U)=\{x\in X:f(x)\in U\}$ .

證明：首先，我們假設函式 $f$ 按定義是連續的（ $\Rightarrow$ 方向）。我們需要證明對於每一個開集 $U$ ， $f^{-1}(U)$ 也是開集。

設 $U\subseteq Y$ 為一個開集。設 $x\in f^{-1}(U)$ 。 $f(x)$ 在 $U$ 中，因為 $U$ 是開集，我們可以找到一個 $\epsilon _{x}$ ，使得 $B_{\epsilon _{x}}(f(x))\subseteq U$ 。因為 f 是連續的，對於那個 $\epsilon _{x}$ ，我們可以找到一個 $\delta _{\epsilon _{x}}>0$ 使得 $f(B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x))\subseteq B_{\epsilon _{x}}(f(x))\subseteq U$ 。這意味著 $B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x)\subseteq f^{-1}(U)$ ，因此， $x$ 是一個內點。這對每一個 $x$ 都成立 - 這意味著 $f^{-1}(U)$ 中的所有點都是內點，根據定義， $f^{-1}(U)$ 是開集。

( $\Leftarrow$ )另一方面，假設對於一個函式 $f$ ，對於每個開集 $U\in Y$ ， $f^{-1}(U)$ 在 $X$ 中是開集。我們需要證明 $f$ 是連續的。

對於每個 $x\in X$ 以及對於每個 $\epsilon _{x}>0$ ，集合 $B_{\epsilon _{x}}(f(x))$ 在 $Y$ 中是開集。因此，集合 $V=f^{-1}(B_{\epsilon _{x}}(f(x)))$ 在 $X$ 中是開集。注意 $x\in V$ 。因為 $V$ 是開集，這意味著我們可以找到一個 $\delta _{\epsilon _{x}}$ 使得 $B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x)\subseteq V$ ，並且我們有 $f(B_{\delta _{\epsilon _{x}}}(x))\subseteq B_{\epsilon _{x}}(f(x))$ 。

最後一個證明給了我們 **一個額外的定義，我們將在本書的其餘部分用於連續性**。這個新定義的美妙之處在於它只使用開集，因此可以應用於沒有度量的空間，所以現在我們有了兩個可以用於連續性的等效定義。

例子

令 $f$ 是從任何空間 $(X,d)$ 到任何空間 $(Y,e)$ 的任何函式，其中 $d$ 是離散度量。那麼 $f$ 是連續的。為什麼？對於每一個開集 $U$ ，集合 $f^{-1}(U)$ 是開的，因為在離散度量空間中，每一個集合都是開的。
令 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ;f(x)=x$ 是恆等函式。 $f$ 是連續的：每一個開集的原像都是它自身，因此是開的。

練習

證明函式 $f:X\rightarrow Y$ 是連續的 $\Leftrightarrow$ 對於 $Y$ 中的每一個閉集 $U$ ， $U$ 的逆像， $f^{-1}(U)$ ，在 $X$ 中是閉的。

一致連續性

在度量空間 X 中，從 X 到度量空間 Y 的函式被稱為一致連續，如果對於所有 $\epsilon$ ，存在一個 $\delta$ ，使得對於所有 $x_{1},x_{2}\in X$ ， $d(x_{1},x_{2})<\delta$ 意味著 $d(f(x_{1}),f(x_{2}))<\epsilon$ .

等距對映

等距對映是一個滿射對映 $f:X\rightarrow Y$ ，其中 $(X,\delta )$ 和 $(Y,\rho )$ 是度量空間，並且對於所有 $a,b\in X$ ， $\delta (a,b)=\rho (f(a),f(b))$ .

在這種情況下， $(X,\delta )$ 和 $(Y,\rho )$ 被稱為等距。

注意 $f$ 的單射性來自保持距離的性質

f(a)=f(b)

\implies \rho (f(a),f(b))=0

\implies \delta (a,b)=0

\implies a=b

因此，等距變換必然是雙射的。

習題

證明一個集合是度量空間中的開集當且僅當它是（可能是無限的）開球的並集。
證明離散度量實際上是一個度量。

拓撲
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