拓撲學/基本概念集合論

本章簡要描述了整本書中使用的基本集合論概念，不是作為一本全面的指南，而是作為讀者應該熟悉的材料和相關符號的清單。想要深入瞭解集合論的讀者可以閱讀集合論華夏公益教科書。

基本定義

空集用符號 $\varnothing$ 表示。包含元素 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ 的有限集用 $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$ 表示。集合論者通常，儘管有些草率，不嚴格區分單元素集 $\{x\}$ 和它的單個元素 $x$.

為了更深入地理解集合元素之間的關係，我們必須首先定義一些術語。令 *A* 和 *B* 表示兩個集合。

• *A* 和 *B* 的並集，用 $A\bigcup {B}$ 表示，是所有屬於 *A* 或 *B*（或兩者都屬於）的 *x* 的集合。
• *A* 和 *B* 的交集，用 $A\bigcap {B}$ 表示，是所有同時屬於 *A* 和 *B* 的 *x* 的集合。
• *A* 和 *B* 的差集，用 $A\backslash B$ 或 $A-B$ 表示，是所有滿足 $x\in A$ 但不滿足 $x\notin B$ 的 $x$ 的集合。
  • 在包含“所有事物”的集合（通常用 *U* 表示）的上下文中，*A* 的補集，用 $A^{c}$ 表示，是 $U\backslash A$.
• *A* 和 *B* 的對稱差，用 $A\Delta B$ 表示，定義為 $A\Delta B=(A\backslash B)\bigcup {(B\backslash A)}$.
• A 是 B 的 子集，記為 $A\subseteq B$，當且僅當 A 中的每個元素也屬於 B。換句話說，當 $\forall x\in A:x\in B$。這些集合的一個重要特性是 $A=B$ 當且僅當 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。
• A 是 B 的 真子集，記為 $A\subsetneq B$，當且僅當 $A\subseteq B$ 且 $A\neq B$。（我們不使用符號 $A\subset B$，因為其意義並不總是明確的。）
• A 的 基數，記為 $\left|A\right|$，是 A 中元素的數量。

  例子

  • $\left|\left\{1,2,3,4,5\right\}\right|=5$
  • $\left|\varnothing \right|=0$
  • $\left|\left\{\varnothing \right\}\right|=1$
• A 的 冪集，記為 $P(A)$，是 A 的所有子集的集合。

  例子

  • $P(\varnothing )=\left\{\varnothing \right\}$
  • $P(\left\{x\right\})=\left\{\varnothing ,\left\{x\right\}\right\}$
  • $P(\left\{x,y\right\})=\left\{\varnothing ,\left\{x\right\},\left\{y\right\},\left\{x,y\right\}\right\}$

請注意 $\left|P(A)\right|=2^{\left|A\right|}$.

有序的n元組 表示為 $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$. 對於兩個有序集合 $X=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$ 和 $Y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$, 我們有 $X=Y$ 當且僅當 $\forall i\in \mathbb {N} ,1\leq i\leq n:x_{i}=y_{i}$.

N元組可以用集合來定義。例如，有序對 $\langle x,y\rangle$  由卡齊米日·庫拉托夫斯基 定義為 $\left(x,y\right):=\left\{\{x\},\{x,y\}\right\}$. 現在n元組被定義為

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\ :=\ \{\langle 1,x_{1}\rangle ,\langle 2,x_{2}\rangle ,\ldots ,\langle n,x_{n}\rangle \}.$

現在我們可以使用有序對的概念來討論兩個集合的笛卡爾積。A 和 B 的笛卡爾積，表示為 $A\otimes B$, 是所有可能的由 A 中的第一個元素和 B 中的第二個元素組成的有序對的集合；也就是說，

$A\otimes B=\left\{(a,b)~\left|~a\in A,~b\in B\right.\right\}$.

現在我們已經定義了笛卡爾積，我們可以轉向二元關係和函式的概念。如果 $R\subseteq A\otimes B$，我們說集合 R 是從 A 到 B 的二元關係。如果 $(x,y)\in R$，通常寫為 xRy。如果 R 是一個關係，則所有與某個 y 有關係 R 的 x 的集合稱為 R 的定義域，記為 domR。所有y 的集合，使得對於某個 x，x 與 y 有關係 R，稱為 R 的值域，記為 ranR。如果二元關係 F 滿足在其定義域中的每個元素 x 恰好有一個元素 y 在其值域中，使得 xFy，則稱 F 為一個函式。此外，如果 F 是一個函式，則典型的符號是 $F(x)=y$ 而不是 xFy。

我們應該討論幾種特殊型別的函式。一個函式 $F:A\to B$ 被稱為對映到集合 B 上，或者稱作從 A 到 B 的滿射函式，如果 ran$F=B$。一個函式 F 被稱為單射或一對一函式，如果 $a_{1}\in {\text{dom }}F,~a_{2}\in {\text{dom }}F,{\text{ and}}~a_{1}\neq a_{2}$ 意味著 $F(a_{1})\neq F(a_{2})$。既是單射又是滿射的函式被稱為雙射。

練習

如果你能成功地解答以下問題，你就準備好學習拓撲學了！請花時間解決這些問題。

1. 證明空集是任何集合的子集。
2. 考慮集合 $A_{n}=(-n,n)$，其中 n 是自然數集中的元素。所有 $A_{n}$（n 為自然數）的並集是否等於 $\mathbb {R}$（所有實數的集合）？請證明你的答案。
3. 使用上面的 $A_{n}$，證明 $A_{n}$ 中沒有有限子集具有這樣的性質：該有限子集的並集等於 $\mathbb {R}$。當你學習拓撲學時，你會發現這構成了一個證明，表明 $\mathbb {R}$ 不是緊緻的。