集合論

由華夏公益教科書的志願者和編輯撰寫
華夏公益教科書，維基媒體基金會專案

本書適合高階讀者。

閱讀本書之前，您需要先閱讀

邏輯
形式邏輯

PDF 版本 可供下載。 (資訊)

集合論是研究集合的學科。本質上，集合是數學物件的集合。集合論是所有數學的基礎。

在樸素集合論中，存在一個公理，被稱為無限制理解模式公理。它指出，存在一個集合 $x$ ，使得一階邏輯中的公式 $\phi (y)$ 對 $x$ 中的所有元素 $y$ 成立，即 $x=\{y\,|\,\phi (y)\}$ .

1901 年，伯特蘭·羅素發現這與邏輯矛盾。這種矛盾被稱為羅素悖論。羅素聲稱，如果這種邏輯是自洽的，那麼 $R=\{x\,|\,x\notin x\}$ 就是一個集合。這會導致矛盾，因為 $R\in R$ 當且僅當 $R\notin R$ 。因此，該理論被認為是不自洽的。（有趣的事實：據稱策梅洛在 1899 年發現了這種矛盾，但沒有發表^[1]。）