集合論/導論
許多數學專業的學生很難理解集合論為什麼很重要，因為他們最初接觸的數學通常是基於算術和代數，而不是微積分。為了理解集合論的重要性，我們應該看一下關於數學是什麼的根本問題。工程師對數學的看法是，它是一種解決問題的工具，科學家用它來描述現實，統計學家用它來構建模型，但對數學家來說，數學是什麼呢？
笛卡爾說得好，他說“數學是一種比任何其他由人類機構傳給我們的知識工具都更強大的工具”。在數學中，我們有一個完全形式化的學科——沒有主觀性，因為一切都是基於規則和定義的。雖然這些規則被教給孩子們作為不可改變的“數學運作方式”，但實際上它們只是便利。任何定義的規則集在數學中都是有效的結構，但有些（被研究的那些）比其他的更有趣。例如，如果我們將數字的相等性重新定義為任何兩個數字都相等，我們將有一個定義良好的系統，但是關於這個系統幾乎沒有有趣的事情可說，因為在這個系統中每一個命題都是真的。
那麼，為了回答我們的第二個問題，數學是建立有趣的系統。我們仍然對為什麼我們在集合論的背景下討論這個問題感到困惑，這讓我們瞭解到這個概念的一些歷史。在 19 世紀中期，數學是無形和空洞的——希臘人關於嚴格證明的概念已經被模糊性取代，而一個連貫的集合論的嚴格性還在未來。正是在這個時期，德摩根和布林開始將邏輯作為數學的一個分支來進行寫作。這對數學很重要，因為在此之前，數學證明是令人信服的論證，但沒有被形式化。
格奧爾格·康托爾問了一些關於無窮大的非常令人費解的問題，這些問題破壞了一些非常明顯的觀念。例如，他開始聲稱存在不止一個無窮大，而且它們的大小不同。這場部分由牛頓關於無窮大和無窮小的作品中存在歧義而引發的爭論和爭議，導致了對數字是什麼的正式定義。因此，所有現代數學都是使用集合論重建的，因此所有現代數學在某種程度上都只是集合概念的應用。
在我們開始學習集合之前，我們將評論一下什麼是集合，以及它們為什麼在數學中被使用。在許多方面，集合是最簡單的概念物件，從中可以嚴格地發展出其他數學概念。從集合論開始是最容易理解的。集合論中的所有東西都是基於空集形成的，空集用 或 表示。其他集合可以包含空集，因此集合 是一個只包含空集的簡單集合。我們可以基於這個想法構建複雜程度不同的集合； 將是一個包含兩項的集合：空集和包含空集的集合。
