集合論/集合論語言

回顧一下，一種語言由一個字母表（即符號集合）、一個語法（即形成公式的規則）和語義（即對公式的解釋）組成。

集合論語言，記為${\mathcal {L}}$，是一階邏輯的語言，帶有符號$\in$。

我們的字母表包括變數符號$v,w,\ldots$，以及符號$\vee \;\wedge \;\Rightarrow \;\Leftrightarrow \;\neg \;\forall \;\exists \;\bot \;=\;\in$。

我們不會在這本書中過多地關注形式語義；然而，我們對符號$\in$的預期解釋是作為集合成員關係，即$x\in y$表示集合$x$是集合$y$的成員。

我們的語法（非正式地）由以下內容描述

• 如果$x$和$y$是變數符號，那麼$(x=y)$和$(x\in y)$是公式
• 如果$\varphi$是公式，那麼$(\neg \varphi )$也是公式
• 如果$\varphi$和$\psi$是公式，那麼$(\varphi \Leftrightarrow \psi )$、$(\varphi \Rightarrow \psi )$、$(\varphi \wedge \psi )$和$(\varphi \vee \psi )$也是公式
• 如果 $\varphi$ 是一個公式，並且 $x$ 是一個變數符號，那麼 $\forall x:\varphi$ 和 $\exists x:\varphi$ 都是公式
• 最後，我們有 $\bot$ 也是一個公式

注意，為了正式定義語法，我們需要使用“遞迴”的概念。但是，遞迴將在理論（ZF 理論）中很快被定義，因此我們將避免使用 ZF 中的定理作為 ZF 的元定理。

還要注意，我們對“全集”進行量化，即所有集合的集合。（有趣的事實：全集不是集合，這是因為我們很快就會看到的兩個公理。）