集合論/策梅洛-弗蘭克爾 (ZF) 公理

正式地，集合除了公理所說的之外沒有定義。我們可以將任何物件的集合定義為一個類，這樣任何集合都是一個類，但並非所有類都是集合（不是集合的類有時被稱為真類）。

策梅洛-弗蘭克爾 (ZF) 集合論公理

為了證明集合論的一些基本結果，並開始基於它定義數學的其他分支，我們需要從一些我們虔誠地認為是真實的公理開始。公理的選擇有很多可能性，但最流行的一組公理是策梅洛-弗蘭克爾系統，或者更一般地說，策梅洛-弗蘭克爾與選擇公理。

我們將從說宇宙是非空的開始。

ZF1（空集公理） $\exists y:\forall x:(x\notin y)$ “存在一個沒有元素的集合。”

我們稱一個不包含任何元素的集合為空集。一個自然的問題是，這樣的集合是否唯一。

我們需要一個集合之間的等價概念。

ZF2（外延公理） $\forall x:\forall y:((x=y)\Leftrightarrow (\forall z:(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)))$ “如果兩個集合具有相同的元素，那麼它們被稱為相等。”

現在我們可以證明空集的唯一性。我們非正式地證明這一點，並使用以下論點：歸謬法。英文意思是反證法。

證明

• 假設空集不是唯一的。
• 這意味著存在空集 $x$ 和 $y$ 使得 $x\neq y$.
• 所以根據ZF1，我們有 $z\notin y$ 和 $z\notin x$ 對於任何集合 $z$。
• 因此根據ZF2，我們有 $x=y$ 因為 $(z\in x)\Leftrightarrow (z\in y)$ 對於任何集合 $z$ 是空真，或者用拉丁語說是ex falso sequitur quodlibet。
• 因此我們得到了矛盾。所以空集是唯一的。 $\Box$

我們將空集定義為 $\emptyset$.

到目前為止，我們只證明了空集的存在。因此促使了我們的下一個公理。

ZF3（對公理） $\forall x:\forall y:\exists m:\forall u:(u\in m)\Leftrightarrow ((u=x)\vee (u=y))$ “如果我們有兩個集合 $x$ 和 $y$，那麼我們可以形成一個無序對集合 $m$，它恰好包含 $x$ 和 $y$。我們將它寫成 $\{x,y\}$。”

直接從ZF2可知，無序對集合是事實上的唯一的（所以我們關於無序對集合中順序無關緊要的直覺是正確的，$\{x,y\}=\{y,x\}$）。同樣直接從ZF2可知，如果$x$ 是一個集合，那麼根據ZF3，我們有一個包含$x$ 的集合，即$\{x\}$。

到目前為止，我們的理論表明了無限多個集合的存在。我們透過ZF1得到$\emptyset$，並透過ZF3得到$\{\emptyset \}$，再次透過ZF3得到$\{\{\emptyset \}\}$，等等…

這裡的無限概念是非正式使用的，因為我們還沒有定義它。

我們目前在理論中遇到的唯一缺點是我們只能形成空集、單元素集和對集合。更準確地說，我們可以說：

• 空集$(x):\Leftrightarrow (\forall y:y\notin x)$
• 單元素集$(x):\Leftrightarrow (\forall y:(x=\{y\}))$
• 對集$(x):\Leftrightarrow (\forall y:\forall z:(x=\{y,z\})\wedge (y\neq z))$

我們現在可以將有序對集合定義為$(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$。很容易看出，如果$x\neq y$，那麼$(x,y)\neq (y,x)$。這是由庫拉托夫斯基 在 1921 年 定義的。

為了定義更大的集合，我們需要以下公理。

ZF4（並集公理） $\forall x:\exists u:\forall y:(y\in u)\Leftrightarrow (\exists z:(y\in z)\wedge (z\in x))$ “對於任何集合$x$，存在另一個集合，它的元素恰好是$x$ 的元素的元素。我們將該集合$u$ 寫作$\bigcup u$。”

因此，集合 $\{x,y\}$ 和 $\{z\}$ 的並集僅僅是 $\{x,y,z\}$。因此我們得到了一個三元集。我們可以繼續對集合進行並集運算，形成更大的集合。

我們也有對兩個集合進行並集運算的通常概念，即集合 $x$ 和集合 $y$ 的並集，我們記為 $x\cup y$，定義為 $\bigcup \{x,y\}$。

ZF5（替換公理模式） 給定一個集合 $z$ 和集合論語言中的一個公式 $\phi (x,y)$，使得對於所有 $x$ 都存在唯一的 $y$ 使得 $\phi (x,y)$ 為真。那麼存在一個集合 $a$，其元素是所有滿足條件的 $y$。我們將其記為集合 $\{y\,|\,\exists x\in z:\phi (x,y)\}$。

直觀上，我們可以將其看作是對映的存在。

以下公理來自ZF5，但我們會將其寫下來，因為它很有用。我們將將其命名為ZF 5.1，以突出其可以從ZF5證明的事實。

ZF 5.1（分離公理模式/受限外延公理） 給定一個集合 $y$ 和一個集合論語言中的公式 $\phi (x)$。那麼我們有一個包含所有 $z\in y$ 的集合，使得 $\phi (z)$ 為真。我們將此寫為集合 $\{z\in y\,|\,\phi (z)\}$。

這種集合的唯一性（既來自ZF5 又來自ZF 5.1）源於ZF2。

ZF5 和 ZF 5.1 都是公理模式，因為它們包含無限多個公理——每個公式 $\phi$ 都有一個公理。請注意，此公理中的限制 $x\in A$ 幫助我們避免羅素悖論——在這個悖論中，形式為 $\{x\,|\,P(x)\}$ 的“集合”被使用，其中 $P(x)=x\not \in x$。

由此，我們現在可以定義交集。我們定義集合 $x$ 的交集，記為 $\bigcap x$，為 $\{z\in \bigcup x\,|\,(\forall y\in x:z\in y)\}$。

注意，我們現在可以定義子集縮寫符號 $\subseteq$。我們說 $x\subseteq y$ 表示 $\forall a:(a\in x)\Rightarrow (a\in y)$。練習：解釋為什麼集合 $x\subseteq y$ 的補集實際上是一個集合。

現在我們可以證明全集不是一個集合。我們使用與上述相同的論證，即反證法。

定理。 所有集合的集合不是一個集合。 證明 假設全集存在，並設 $V=\{x\,|\,x=x\}$，因為它是全集，它包含宇宙中的所有東西。 現在設 $V^{\prime }=\{x\in V\,|\,x\notin x\}$。根據ZF 5.1，這也是一個集合。 我們知道 $V^{\prime }\in V$，因為 $V$ 包含所有東西。 所以，如果 $V^{\prime }\in V^{\prime }$，那麼 $V^{\prime }\notin V^{\prime }$，如果 $V^{\prime }\notin V^{\prime }$，那麼 $V^{\prime }\in V^{\prime }$。這是一個矛盾。 因此，全集不是集合。 $\Box$

ZF6（冪集公理） $\forall x:\exists y:\forall z:(z\in y)\Leftrightarrow (\forall a:(a\in z)\Rightarrow (a\in x))$ “如果 $x$ 是一個集合，則存在一個集合 ${\mathcal {P}}(x)$，其元素是 $x$ 的子集。”

因此，空集的冪集是空集的集合，即 ${\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}$。

正如我們將看到的，在當前公理體系下，無法定義無限集，因此我們需要以下公理。

ZF7（無限公理） 存在歸納集。歸納集是一個集合 $I$，使得 $\emptyset \in I$，並且 $x\in I\Rightarrow x\cup \{x\}\in I$。

以下公理在某種程度上是一種約定，但集論的各種模型是在沒有它或甚至使用與之相反的公理的情況下定義的。

ZF8（正則公理） 對於任何非空集合 $x$，都存在一個 $y\in x$，使得 $x\cap y=\emptyset$。

這八個公理構成了ZF集合論公理的完整列表。

下一個公理被稱為選擇公理，簡稱AC。ZF加上AC稱為ZFC集合論。

ZFC9 選擇公理 (AC) 對於任何非空不相交集合的集合 $S$，存在一個定義在 $S$ 上的函式 $f$，使得對於每個集合 $x\in S$，有 $f(x)\in x$。