集合論/佐恩引理和選擇公理

集合論中的兩個對偶概念與在給定排序下在一個集合中找到“最大”可能的物體以及從多個集合中同時選擇物體有關。這些概念用佐恩引理和選擇公理來表達；儘管它們聽起來很不同，但它們是等價的。也就是說，給定佐恩引理，可以推匯出選擇公理，反之亦然。選擇公理之所以得名，是因為它獨立於策梅洛-弗蘭克爾集合論公理。因此，將選擇公理新增到 ZF 中，使得以前不可能完成的工作成為可能。

佐恩引理

佐恩引理，通常情況下，是以以下形式出現的

1) 如果一個全序集 S 中的每一個偏序集都有一個上界，那麼 S 就有一個極大元。

由於佐恩引理（ZL）無法從策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZF）的公理中證明或證偽（由庫爾特·哥德爾和保羅·科恩的著名工作），因此可以將某些命題 P 視為與佐恩引理（在 ZF 上）邏輯等價的命題。“邏輯等價”意味著在 ZF 中可以證明的蘊含關係，即 ZL ==> P 和 P ==> ZL。“可證明”在這裡意味著在經典邏輯中可證明；通常，經典等價形式在直覺邏輯方面是獨立的。（拓撲斯理論提供了一個上下文，可以透過反例將經典等價但直覺不等價的語句分開。）

我們立即建立了 ZL 與兩個類似命題的邏輯等價性。

2) 設 S 是一個偏序集 ≤。如果每一個鏈都有一個最小上界，那麼 S 中就存在一個極大元。

3) (豪斯多夫極大原理) 設 S 是一個偏序集 ≤，使得 S 的每一個鏈都有一個上界。那麼 S 包含一個極大鏈（相對於集合包含而言是極大的）。

(1 => 2) 如果每一個鏈都有一個最小上界，那麼 a fortiori 每一個鏈都有一個上界，因此 1) 的結論成立，因此 2) 的結論也成立。

(2 => 3) 用 Chains(S) 表示 S 中包含的鏈的偏序集，按集合包含排序。（我們將對 Chains(S) 應用 2)，而不是對 S 本身應用！）由於 Chains(S) 中的每一個鏈都有一個最小上界，即它的並集，因此 2) 為我們提供了 Chains(S) 中的一個極大元，即一個極大鏈。

一些細節

Chains(S) 中一個鏈 (C_i) 的並集 U 本身具有鏈的形式。對於給定的 x 和 y 在 U 中，我們必須有 x 在 C_j 和 y 在 C_k 中，比如，並且 j < k，不失一般性。但是由於 x 和 y 都在 C_k 中，因此它們是可比較的。

U 作為一個鏈，構成 (C_i) 的最小上界，因為它作為一個集合就起到了作用！

(3 => 1) 如果一個偏序集 S 中的極大鏈 C 有一個上界 u，那麼 u 屬於 C 並構成 S 的極大元。（如果 u 不屬於 C，那麼 C+{u} 就給出了一個更大的鏈；如果 u 屬於 C，但 v>u，那麼 C+{v} 就給出了一個更大的鏈。）

雖然人們可能期望從上述三個蘊含關係組合而成的自明命題 1) ==> 1) 中得不到任何內容，但實際上，結合這些證明，我們看到，當佐恩引理在一個偏序集 S 上失敗時，它也必須在 Chains(S) 上失敗，即 S 的鏈按包含關係排序。因此，如果佐恩引理對基於集合包含的偏序成立，那麼它通常情況下也成立！

選擇公理

通常，選擇公理的表述是“對於每一個非空集 S，存在一個從 S 的所有非空子集的集合 ${\mathcal {S}}$ 到 S 的函式 f，使得 f(A) 屬於 A”。解析這個表述，我們斷言，給定一個集合，存在一種方法可以同時從該集合的每個子集中選擇一個元素。這個函式通常被稱為“選擇函式”。

選擇公理的進一步等價

實際上，有數百條數學命題被證明與選擇公理邏輯等價。其中一些命題是純粹的集合論命題，比如上面的佐恩引理，而另一些則建立在其他數學學科的基礎上。

在本節中，我們將介紹其中的一些命題，主要不帶證明。

策梅洛良序定理

也許選擇公理最重要的等價命題（至少從純粹的集合論的角度來看）是策梅洛良序定理。

在我們陳述它之前，我們必須介紹一些術語

集合 $X$ 上的二元關係 $R$ 被稱為良基，如果不存在 $X$ 元素的無限序列 $\langle x_{n}\rangle _{n=0}^{\infty }$ 滿足以下條件：

對於每個 $n$ ， $x_{n}\neq x_{n+1}$ ，並且
對於每個 $n$ ， $\langle x_{n+1},x_{n}\rangle \in R$ .

集合 $X$ 上的部分序關係 $R$ 被稱為良序關係，如果

對於每個 $x,y\in X$ ，要麼 $\langle x,y\rangle \in R$ ，要麼 $\langle y,x\rangle \in R$ ，並且
$R$ 是良基的。

策梅洛良序定理是一個簡單的陳述：每個集合 $X$ 都可以良序。

蒂霍諾夫定理

指出任何緊緻拓撲空間族的笛卡爾積本身也是緊緻的。

非勒貝格可測集的存在性

考慮單位區間 $[0,1]$ 和由 $a\sim b\ {\mbox{if}}\ a-b\in \mathbb {Q}$ 定義的等價關係。顯然，這是一個等價關係

$a\sim a$ ，因為 $a-a=0$ 是有理數。
$a\sim b$ 意味著 $a-b$ 是有理數。那麼 $b-a=-(a-b)$ 也是有理數，因此 $b\sim a$ .
$a\sim b\ {\mbox{and}}\ b\sim c$ 意味著 $a-b\ {\mbox{and}}\ b-c$ 是有理數。那麼， $a-c=(a-b)+(b-c)$ 也是有理數。這意味著 $a\sim c$ .

現在，**選擇**每個等價類中的一個代表。將此集合稱為 $S$ 。 $S$ 可以是勒貝格可測的嗎？答案是否定的。

為了證明這一點，我們注意到 $x\in [0,1]$ 中的任何元素與其等價類的選定代表 $s_{x}\in S$ 的差值是 $(-1,1)$ 中的一個有理數。然而， $(-1,1)$ 中只有可數個有理數；將它們列舉為 $\left\{r_{k}\right\}_{1\leq k<\infty }$ 。定義集合 $S+r=\left\{s+r\mid s\in S\right\}$ ，即 $S$ 平移 $r$ 所得。