集合論/佐恩引理與選擇公理/良基

一個二元關係R被稱為良基，當且僅當對於每個集合A

$A\subseteq R[A]\Rightarrow A=\emptyset$

定理：一個二元關係R被稱為良基，當且僅當對於每個二元關係S

$S\circ R\subseteq R\circ S\Rightarrow R\cap S^{-1}=\emptyset$

證明：令R是一個良基關係，令S是一個關係，滿足

$S\circ R\subseteq R\circ S$

令

$X=field(R)$

並且令

$A=dom(R\cap S^{-1})$

那麼

$A=dom(R\cap S^{-1})=dom((S\circ R)\cap I_{X})\subseteq dom((R\circ S)\cap I_{X})=dom(S\cap R^{-1})=ran(R\cap S^{-1})\subseteq R[A]$

由此可知A為空集，因此 $R\cap S^{-1}=\emptyset$

反之，假設對於每個關係S，我們有

$S\circ R\subseteq R\circ S\Rightarrow R\cap S^{-1}=\emptyset$

令A是一個集合，滿足

$A\subseteq R[A]$

令 $B=field(R)$ 並且令 $S=BxA$。那麼

$S\circ R=R^{-1}[B]\times A\subseteq B\times R[A]=R\circ S$

由此可知

$R\circ I_{A}=R\cap (A\times B)=R\cap S^{-1}=\emptyset$

因此

$R[A]=\emptyset$

因此 $A=\emptyset$