集合論/集合系統

在本章中，我們希望針對給定集合 $\Omega$，研究其冪集 ${\mathcal {P}}(\Omega )$ 的子集。我們特別關注 ${\mathcal {P}}(\Omega )$ 中在某些運算下封閉的那些子集。

定義（π-系統）:

設 $\Omega$ 為一個集合。一個$\pi$-系統是集合的集合 ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$，使得只要 $A,B\in {\mathcal {A}}$，則也有 $A\cap B\in {\mathcal {A}}$。

定義（Dynkin 系統）:

設 $\Omega$ 為一個集合。一個Dynkin 系統或 $\lambda$-系統是集合的集合 $\Sigma \subseteq \Omega$，使得以下三個公理成立

1. $\Omega \in \Sigma$
2. $A,B\in \Sigma \Rightarrow A\setminus B\in \Sigma$
3. $A_{1},A_{2},\cdots \in \Sigma \wedge A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots \Rightarrow \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in \Sigma$.

定義（σ-代數）:

設 $\Omega$ 為一個集合。在 $\Omega$ 上的 **$\sigma$-代數** 是 $\Omega$ 的子集的集合，比如 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$，使得以下公理成立

1. $\Omega \in {\mathcal {F}}$
2. $A,B\in {\mathcal {F}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {F}}$
3. $A_{n}\in {\mathcal {F}}$ 對於所有 $n\in \mathbb {N}$ 意味著 $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {F}}$.

注意，成為 $\sigma$-代數是一個比成為 Dynkin 系統更強的要求：一個 $\sigma$-代數對所有可數交集是封閉的，而 Dynkin 系統只對可數上升鏈的交集是封閉的。

定義（由集合的集合生成的 σ-代數）:

設 $\Omega$ 為一個集合，設 ${\mathcal {A}}\subseteq 2^{\Omega }$。那麼我們定義

$\sigma ({\mathcal {A}}):=\bigcap _{{\mathcal {B}}\supset {\mathcal {A}} \atop {\mathcal {B}}{\text{ is a }}\sigma {\text{-algebra}}}{\mathcal {B}}$.

定義（由集合的集合生成的 λ-系統）:

設 $\Omega$ 為一個集合，設 ${\mathcal {A}}\subseteq 2^{\Omega }$。那麼我們定義

$\lambda ({\mathcal {A}}):=\bigcap _{{\mathcal {B}}\supset {\mathcal {A}} \atop {\mathcal {B}}{\text{ is a }}\lambda {\text{-system}}}{\mathcal {B}}$.

定理（Dynkin 的 λ-π 定理）:

設 $\Omega$ 是一個集合，且設 ${\mathcal {A}}$ 是 $\pi$-系統在 $\Omega$ 上。那麼

$\sigma ({\mathcal {A}})=\lambda ({\mathcal {A}})$.

證明： 方向 “$\supseteq$" 是顯然的，因此我們只需要證明 “$\supseteq$"。為此，我們證明 $\lambda ({\mathcal {A}})$ 實際上是一個 $\sigma$-代數，它包含 ${\mathcal {A}}$，使用 $\sigma ({\mathcal {A}})$ 的定義作為包含 ${\mathcal {A}}$ 的所有 $\sigma$-代數的交集。 $\Box$

練習

1. 設 $\Omega$ 為一個集合，並設 $\Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$。證明 $\Sigma$ 是 $\lambda$ 系統當且僅當
   1. $\emptyset \in \Sigma$
   2. $A,B\in \Sigma \Rightarrow A\setminus B\in \Sigma$
   3. $A_{1},A_{2},\ldots \in \Sigma \wedge A_{1}\supseteq A_{2}\supseteq A_{3}\supseteq \cdots \Rightarrow \bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in \Sigma$.
2. 設 $\Omega$ 為一個集合，並設 ${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(\Omega )$。證明 ${\mathcal {F}}$ 是 $\sigma$ 代數當且僅當
   1. $\emptyset \in {\mathcal {F}}$
   2. $A,B\in {\mathcal {F}}\Rightarrow A\setminus B\in {\mathcal {F}}$
   3. $A_{n}\in {\mathcal {F}}$ 對於所有 $n\in \mathbb {N}$ 意味著 $\bigcap _{n\in \mathbb {N} }A_{n}\in {\mathcal {F}}$.