集合論/策梅洛-弗蘭克爾集合論

定義 (策梅洛-弗蘭克爾集合論):

策梅洛-弗蘭克爾集合論 (ZF 集合論) 是由以下公理給出的理論 (其中大多數是用集合論語言 ${\mathcal {L}}$ 寫成的)

1. 外延公理: $\forall x,y:(x=y)\Leftrightarrow \forall z:(z\in x\Leftrightarrow z\in y)$
2. 空集: $\exists x:\forall y:(y\notin x)$
3. 配對: $\forall x:\forall y:\exists m:\forall u:(u\in m)\Leftrightarrow ((u=x)\vee (u=y))$
4. 並集: $\forall x:\exists u:\forall y:(y\in u)\Leftrightarrow (\exists z:(y\in z)\wedge (z\in x))$
5. 受限理解方案: 給定一個集合 $y$ 和一個集合論語言中的公式 $\phi (x)$。那麼，我們有一個所有 $z\in y$ 的集合，使得 $\phi (z)$ 為真。我們將此寫為集合 $\{z\in y\,|\,\phi (z)\}$。
6. 替換方案: 給定一個集合 $z$ 和一個集合論語言中的公式 $\phi (x,y)$，使得對於所有 $x$ 都存在唯一的 $y$ 使得 $\phi (x,y)$ 為真。那麼，存在一個集合 $a$，其元素是所有這些 $y$。我們將此寫為集合 $\{y\,|\,\exists x\in z:\phi (x,y)\}$。
7. 冪集：$\forall x:\exists y:\forall z:(z\in y)\Leftrightarrow (\forall a:(a\in z)\Rightarrow (a\in x))$
8. 無窮：存在一個歸納集。歸納集是指包含空集，並且如果包含$x$，則包含$x\cup \{x\}$的集合。

注意，在無窮公理中，我們提到歸納集包含‘一個’空集。我們很快就會發現，實際上存在一個唯一的空集，所以我們可以將歸納集的定義更改為包含‘唯一’空集的集合。