需要建立數學符號的幫助？

定義

子集

$A\subseteq B$

$\{x\mid x\in A{\hbox{ then }}x\in B\}$

子集意味著對於所有 x，如果 x 在 A 中，那麼 x 也在 B 中。

真子集

$A\subset B$

$\{x\mid x\in A{\hbox{ then }}x\in B{\hbox{ and }}A\neq B\}$

並集

$\bigcup A$

$\{x\mid x\in \bigcup A{\hbox{ iff }}y\in A{\hbox{ s.t. }}x\in y\}$

$A\cup B$

$\{x\mid x\in A{\hbox{ or }}x\in B\}$

交集

$\bigcap A$

$\{x\mid {\hbox{for all }}a\in A,x\in a\}$

$A\cap B$

$\{x\mid x\in A{\hbox{ and }}x\in B\}$

空集

$\emptyset$

${\hbox{There is a set }}A{\hbox{ s.t. }}\{x\mid x\notin A\}$

減法

$A-B$

$\{x\mid x\in A{\hbox{ and }}x\notin B\}$

冪集

${\mathcal {P}}(A)$

$\{x\mid x\subseteq A\}$

有序對

$\langle a,b\rangle$

$\{\{a\},\{a,b\}\}$

笛卡爾積

$A\times B$

$A\times B=\{x\mid x=\langle a,b\rangle {\hbox{ for some }}a\in A{\hbox{ and some }}b\in B\}$

或

$\{\langle a,b\rangle \mid a\in A{\hbox{ and }}b\in B\}$

關係

一組有序對

定義域

$\{x\mid {\hbox{ for some }}y,\langle x,y\rangle \in R\}$

值域

$\{y\mid {\hbox{ for some }}x,\langle x,y\rangle \in R\}$

域

${\hbox{dom(}}R{\hbox{)}}\cup {\hbox{ran(}}R{\hbox{)}}$

等價關係

自反性： 在 A 上的二元關係 R 是自反的，當且僅當對於 A 中的所有 a，<a, a> 屬於 R
對稱性： 關係 R 是對稱的，當且僅當對於所有 a，b，如果 <a, b> 屬於 R，那麼 <b, a> 屬於 R
傳遞性： 關係 R 是傳遞的，當且僅當對於所有 a，b 和 c，如果 <a, b> 屬於 R 且 <b, c> 屬於 R，那麼 <a, c> 屬於 R

偏序關係

傳遞性，以及
非自反性： 對於所有 a，<a, a> 不屬於 R

三等分律

以下恰好有一個成立

x < y
x = y
y < x

證明策略

如果，那麼

證明如果 x 那麼 y

假設 x

...

因此，y

當且僅當

證明 x 當且僅當 y

假設 x

...

因此，y

假設 y

...

因此，x

等式

證明 x = y

證明 x 是 y 的子集

並且

證明 y 是 x 的子集

不等式

證明 x != y

x = {具有 p}

y = {具有 p}

a 屬於 x，但 a 不屬於 y