集合論/樸素集合論
在19世紀後期，當康托爾證明了他的定理，數學家對無窮大的理解發展起來時，集合論還沒有像今天一樣被嚴格地公理化。它依賴於對集合是什麼以及它們與成員之間關係的模糊直覺。這種缺乏嚴謹性導致了一些悖論。
在樸素集合論中，如果一個東西是集合，當且僅當它是一個定義明確的物體集合。集合算作物體。一個成員是集合中包含的任何東西。任何兩個包含完全相同成員的集合都是同一個集合（外延原則）。
最著名的悖論之一是羅素悖論。英國哲學家和邏輯學家伯特蘭·羅素在1901年發現了這個悖論。它圍繞著包含所有不包含自身的集合的集合。要回答“這個集合是否包含自身？”這個問題是不可能的，除非遇到矛盾。如果它包含自身，它根據定義是一個不包含自身的集合——矛盾。如果它不包含自身，它就是一個不包含自身的集合，因此應該包含自身——矛盾。一個類似的語義悖論是理髮師悖論。理髮師給鎮上所有不給自己刮鬍子的人刮鬍子，只給這些人刮鬍子。理髮師給自己刮鬍子嗎？如果這樣，他就不屬於那些不給自己刮鬍子的人。如果不是，他應該。在這種情況下，理髮師的合同是不一致的，因此，類比起來，樸素集合論也是不一致的，羅素悖論就是基於樸素集合論構建的。
這個悖論的解釋有些技術性，但很簡短，一些讀者可能更願意稍後回來看。
集合 A 是另一個集合 B 的子集，當且僅當 A 的所有成員都是 B 的成員。因此，所有集合都是自身的子集。此外，空集，Ø 或 {}，不包含任何成員的集合，是任何集合的子集，因為它的所有成員也是任何其他集合的成員（因為它沒有成員）。一個集合的真子集是一個不是集合本身的子集。一個集合的冪集是該集合所有子集的集合。例如，空集的冪集是包含空集的集合，{Ø}。注意，這個集合不同於空集：{Ø} 有一個成員 (Ø)；Ø 沒有成員。
1873 年，康托爾證明了任何集合的冪集都比該集合大（康托爾定理）。對於有限集來說，這似乎很明顯，但當考慮無限集時，這件事就顯得不那麼清晰了。目前，一個無限集將被認為是一個大小與其真子集之一相同的集合，兩個集合被認為具有相同大小或等勢，當且僅當它們之間存在雙射（第一個集合的每個成員都有第二個集合的唯一成員，第二個集合的每個成員都有第一個集合的唯一成員）。例如，自然數集合 {1,2,3,...} 是無限的。它有一個真子集 {2,4,6,...}，即偶數，但是對於自然數集合中的每個成員（即對於每個自然數），都有偶數集合中的一個成員，反之亦然。這是因為每個自然數都可以乘以 2，得到一個偶數（即，每個自然數都可以被分配給偶數集合中的一些唯一成員），每個偶數都可以除以 2，將它分配給自然數集合中的唯一成員。如果兩個集合等勢，就有一種方法可以將第一個集合的每個成員與第二個集合的每個成員配對，使得第一個集合的每個成員都出現在恰好一個對的第一位置，第二個集合的每個成員都出現在恰好一個對的第二位置（有序對不受外延原則的限制：<a,b> 不等於 <c,d> 如果 a 不等於 c）。所以，對於 {1,2,3...} 和 {2,4,6...}，有對 <1,2>，<2,4>，<3,6> 等等。所有這些對的集合是一個函式（也是一個雙射）。
康托爾定理的證明依賴於上述概念。這裡描述的證明是反證法，即假定要證明的結論的否定為真；證明表明這種假設是不一致的。
假設集合 A 與它的冪集 PA 等勢。因此，存在一個從 A 到 PA 的雙射 g。令 g(x) 為與 A 的成員 x 相關的 PA 的成員（即 A 的子集）。由於假設 A 與 PA 等勢，對於 PA 的每個成員 y，都存在 A 的一個成員 x，使得 y = g(x)。令 B 為 A 的子集，使得 B 的任何成員 x 都不是 g(x) 的成員（記住 g(x) 將是 A 的某個子集）。因此，不存在這樣的 x，它是 A 的成員且 g(x) = B。如果存在，它要麼是 B 的成員，要麼不是。如果 x 是 B 的成員，它將是 g(x) 的成員，因此不會是 B 的成員——矛盾。如果它不是，它將不是 g(x) 的成員，因此將是 B 的成員——矛盾（注意與羅素悖論的相似之處，用於顯示這種矛盾）。然而，B 是 PA 的成員（因為 B 是 A 的子集），因此應該存在一些 x 使得 g(x) = B。這種矛盾完成了證明。對於任何集合，總存在一些子集不能被唯一地分配給該集合中的一個成員。
悖論是作為定理的延伸出現的。考慮包含所有事物，所有集合，樹木，人，行星，鐘乳石，數字，計算器等等的集合。根據定理，這個集合的冪集比它大。然而，如果是這樣，那麼“萬物”這個集合一定漏掉了什麼東西，因為有一個集合比它大，因此包含了除了它之外的其他東西。
考慮包含所有可以用英文在二十個音節內定義的自然數的集合。它將包含 26（只有三個音節），第二百萬個素數（只有七個音節），以及 10 的 10 的 10 的 10 的 10 次方加 14（19 個音節）。由於音節數量有限，定義的長度必須是有限的，因此這個集合的大小必須是有限的。它將是包含 19 個或更少音節的所有排列的集合的真子集；特別是，它包含定義自然數的那些排列的集合。由於這個集合只有有限的成員，它必須有一個最大的成員（但注意無限集合不一定是這樣的，例如自然數集合）。
考慮這個數字：可以用英文在二十個音節內定義的最小數字。這個數字是最小的不在這個集合中的數字；然而，它可以用少於二十個音節來定義，因為它剛剛用十八個音節定義了！這就是貝里悖論，由貝里在 1906 年提出，作為理查德悖論的簡化版本，如下所示。
考慮所有可以用有限個詞表示的介於 0 和 1 之間的數字。例如，0.33333333... 由“三分之一”表示。“正方形邊長和對角線長度的比率”是另一個例子。按字典順序排列所有這些數字表明它包含一個可數集合。因此，按某種順序列出所有這些數字是可能的。然而，存在一個數字 p，它在其第 k 個位置與列表中的每個第 k 個數字不同。因此，它似乎在列表中沒有出現，但它應該出現，因為它剛剛用有限個詞描述了。
理查德和貝里悖論是由於對可定義性、可表示性等術語的粗心使用以及自指的包含而產生的。在公理集合論中不可能出現這種粗心大意。