集合論/基數

無限集和基數

有限集的大小

在確定有限集的大小的時候，我們通常計算集合中元素的個數，並認為兩個集合的大小相同，如果它們具有相同的元素個數。然而，這種方法不適用於無限集，因為我們無法計算無限集中的元素個數。

然而，有一種方法可以定義兩個集合大小相同時，該方法適用於有限集和無限集。我們說兩個集合 $A$ 和 $B$ 大小相同，如果我們能定義一個函式 $f:A\to B$，它滿足以下性質

• $f(a)$ 對每個 $a\in A$ 都有定義。
• $\forall b\in B$，$\exists a\in A$，使得 $f(a)=b$。我們說 f 是 *滿射* 或 *滿射*。
• $\forall a_{1},a_{2}\in A$，$f(a_{1})=f(a_{2})\implies a_{1}=a_{2}$。我們說 f 是 *單射* 或 *單射*。

滿足這些性質的函式稱為 *雙射*。

示例

集合 $\{1,2,3\}$ 和 $\{4,5,6\}$ 都有三個元素。我們可以像這樣定義它們之間的雙射：$f(1)=6,f(2)=4,f(3)=5$。

所有正整數的集合，$\{1,2,3,...\}$，與所有非負整數的集合大小相同，$\{0,1,2,...\}$。設 $f(1)=0,f(2)=1$，更一般地，$f(n)=n-1$。

練習

證明以上函式是雙射。

通常，在兩個基數相同的集合之間構建顯式雙射是困難的，因此以下定理可以派上用場。

康托爾-施羅德-貝爾施泰因定理

參見證明：康托爾-施羅德-貝爾施泰因定理

如果 $A$ 和 $B$ 是兩個集合，並且存在單射函式 $f:A\to B$ 和 $g:B\to A$，那麼 $A$ 和 $B$ 之間存在雙射。

定義

有許多方法可以定義基數，其中一種方法是使用序數作為參考。一個集合的基數可以定義為與該集合一一對應的最小序數。但是，在談論基數時，通常將它與實數集等進行比較，當談論大於可數基數的基數時，因此在實踐中，基數被認為是兩個集合之間簡單比較的結果。這樣做的一個原因是，序數的可能大小通常取決於所使用的公理。