集合論/集合

集合和元素

數學上的集合被定義為不同元素的無序集合。也就是說，集合中的元素可以以任何順序排列，重複出現的元素等同於只出現一次。

我們說一個元素是一個集合的成員。集合的元素可以是任何東西。最容易從只包含數字的元素開始。出於這個原因，本書中的大多數示例將只包含數字，但這只是一種使主題不那麼抽象的技術。

術語

對於一個集合 $A$ 包含元素 $x$，以下所有說法都是同義詞

$x$ 是 $A$ 的成員

$x$ 被包含在 $A$ 中

$x$ 被包含在 $A$ 中

$x$ 是集合 $A$ 的一個元素

$A$ 包含 $x$

$A$ 包括 $x$

符號

我們透過指定其成員來指定一個集合。花括號符號用於此目的。

$\{1,2,3\}$

是包含 1、2、3 作為成員的集合。或者，{母親，這個 iPod，我的學校，木星，12} 也是一個集合。花括號符號可以擴充套件為透過指定集合成員資格規則來指定集合。（“|”表示“使得”）。

${\Big \{}x{\Big |}x=1{\text{ or }}x=2{\text{ or }}x=3{\Big \}}$

再次表示一個包含 1、2、3 這三個元素的集合。

${\Big \{}x{\Big |}x{\text{ is a natural number}}{\Big \}}$

表示所有自然數的集合。這種表示集合的形式可以推廣為

${\Big \{}x{\Big |}P(x){\Big \}}$

where $P(x)$ is a statement about the variable $x$ . The set defined by above notation is a set of all objects $x$ such that $P(x)$ is true. **** (For a concrete example, consider $A={\Big \{}x\in \mathbb {R} :x^{2}=1{\Big \}}$ . Here the property $P$ is “$x^{2}=1$” Thus, $A$ is the set of all real numbers whose square is one.). EXPLANATION: [A set may be defined by a property. For instance, the set of all planets in the solar system, the set of all even integers, the set of all polynomials with real coefficients, and so on. For a property $P$ and an element $s$ of a set $S$ , we write $P(s)$ to indicate that $s$ has the property $P$ . Then the notation ${\Big \{}s\in S{\Big |}P(s){\Big \}}$ indicates that the set consists of all elements $s$ of $S$ having the property $P$ . The vertical bar | is commonly read as “such that,” and can be also written using a colon instead. So ${\Big \{}s\in S:P(s){\Big \}}$ is an alternative notation for ${\Big \{}s\in S|P(s){\Big \}}$ . For a concrete example, consider $A={\Big \{}x\in \mathbb {R} {\Big |}x^{2}=1{\Big \}}$. Here the property $P$ is $x^{2}=1$ . Thus, $A$ is the set of all real numbers ($x$ of $\mathbb {R}$ (i.e. 1)) whose square $(1^{2}=1)$ is one.] ***

對於集合成員，使用的是一個經過修改的 epsilon 符號。因此

$x\in A$

意味著 $x$ 是 $A$ 的一個成員。我們也可以說 $x$ 不是 $A$ 的成員 

$x\notin A$

集合的特徵

一個集合是由它的成員唯一確定的。

${\begin{aligned}&{\Big \{}x{\Big |}x{\text{ is an even prime}}{\Big \}}\\&{\Big \{}x{\Big |}x{\text{ is a positive square root of }}4{\Big \}}\\&\{2\}\end{aligned}}$

此外，如果且僅當 A 的每個元素都是 B 的元素，並且 B 的每個元素都是 A 的元素，則集合 A、B 被認為是相等的。

所有上述表示式都指定了同一個集合，即使偶數素數的概念與正平方根的概念不同。重複成員在指定集合時無關緊要。表示式

${\begin{aligned}&\{1,2,3\}\\&{\Big \{}1,1,1,1,2,3{\Big \}}\\&{\Big \{}x{\Big |}x{\text{ is an even prime or }}x{\text{ is a positive square root of }}4{\text{ or }}x=1{\text{ or }}x=2{\text{ or }}x=3{\Big \}}\end{aligned}}$

都指定了相同的集合。

集合是無序的。表示式

${\begin{aligned}\{1,2,3\}\\\{3,2,1\}\\\{2,1,3\}\end{aligned}}$

都指定了相同的集合。

集合可以包含其他集合作為成員。例如，存在一個集合

${\Big \{}\{1,2\},\{2,3\},\{1,{\text{Newton}}\}{\Big \}}$

一些特殊的集合

如上所述，集合由其成員定義。然而，為了便於引用，一些集合被賦予了名稱。

沒有成員的集合稱為空或零集合。表示式

${\begin{aligned}&\{\}\\&\varnothing \\&{\Big \{}x:x\neq x{\Big \}}\end{aligned}}$

都指定了空集。

只有單個成員的集合稱為單例。只有兩個成員的集合稱為雙例。因此 $\{1\}$ 是單例，而 $\{1,2\}$ 是雙例。

子集、冪集、集合運算

子集

如果集合 $S$ 的每個成員都是集合 $A$ 的成員，則集合 $S$ 是集合 $A$ 的子集。我們使用馬蹄形符號來表示子集。表示式

$\{1,2\}\subseteq \{1,2,3\}$

表示 $\{1,2\}$ 是 $\{1,2,3\}$ 的子集。空集是任何集合的子集。每個集合都是自身的子集。一個 $A$ 的 *真子集* 是 $A$ 的子集，但與 $A$ 不完全相同。表示式

$\{1,2\}\subset \{1,2,3\}$

表示 $\{1,2\}$ 是 $\{1,2,3\}$ 的真子集。

冪集

一個集合的 *冪集* 是所有子集的集合。 ${\mathcal {P}}$ 用於表示冪集。請注意，空集和集合本身是冪集的成員。

${\mathcal {P}}\{1,2,3\}={\Big \{}\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,\ 2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}{\Big \}}$

並集

兩個集合 *A* 和 *B* 的 *並集*，記為 $A\cup B$，是包含 *A* 中所有成員和 *B* 中所有成員的集合（並且沒有其他成員）。也就是說，

$A\cup B={\Big \{}x:x\in A{\text{ or }}x\in B{\Big \}}$

例如，

$\{1,2,3\}\cup \{2,3,4\}=\{1,2,3,4\}$

交集

兩個集合$A,B$ 的交集，記作 $A\cap B$，是指包含 $A$ 和 $B$ 兩個集合中所有元素的集合（且沒有其他元素）。也就是說：

$A\cap B={\Big \{}x:x\in A{\text{ and }}x\in B{\Big \}}$

例如，

$\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$

如果兩個集合的交集為空集，則這兩個集合是不相交的。也就是說，如果 $A$ 和 $B$ 是不相交的集合，

$A\cap B=\varnothing$

相對補集

$A,B$ 的相對補集，記作 $B\setminus A$ （有時記作 $B-A$），是指包含所有 $B$ 中的元素，但又不包含 $A$ 中元素的集合。也就是說：

$B\setminus A={\Big \{}x:x\in B{\text{ and }}x\notin A{\Big \}}$

例如，

$\{2,3,4\}\setminus \{1,3\}=\{2,4\}$

絕對補集

如果我們定義一個全集，或者包含所有我們想要考慮的元素的集合，那麼我們可以討論一個集合的絕對補集。對於一個全集 $U$，定義 $U$ 的子集 $A$ 的絕對補集為

$U\setminus A$

集合 $A$ 的絕對補集用 $A^{C},\complement _{U}A,\complement A,{\overline {A}}$ 表示（根據 ISO 31-11 標準），如果 $U$ 是固定的。

集合運算的一些性質

並集和交集

基於前面的定義，我們可以推匯出集合運算的一些有用性質。這些性質的證明留給讀者作為練習。

並集和交集運算是對稱的。也就是說，對於集合 $A,B$

${\begin{aligned}A\cup B=B\cup A\\A\cap B=B\cap A\end{aligned}}$

此外，它們是結合的。也就是說，對於集合 $A,B,C$

${\begin{aligned}(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\\(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\end{aligned}}$

此外，並集對交集進行分配，而交集對並集進行分配。也就是說，對於集合 $A,B,C$

${\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}$

德摩根定律

集合中兩個重要的命題是德摩根定律。它們指出，對於集合 $A,B,C$

${\begin{aligned}A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)\\A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)\end{aligned}}$

當 $A$ 是一個包含 $B$ 和 $C$ 的全集時，德摩根定律可以更簡單地表示為：

${\begin{aligned}(B\cup C)^{C}=B^{C}\cap C^{C}\\(B\cap C)^{C}=B^{C}\cup C^{C}\end{aligned}}$

集合族

一組集合通常被稱為集合的族或集。通常，集合族用指令碼或Fraktur字型來書寫，以便於區分其他集合。對於集合族 ${\mathfrak {A}}$ ，定義集合族的並集和交集如下：

${\begin{aligned}\bigcup {\mathfrak {A}}&=\bigcup _{A\in {\mathfrak {A}}}A=\{x:x{\text{ is in some }}A\in {\mathfrak {A}}\}\\\bigcap {\mathfrak {A}}&=\bigcap _{A\in {\mathfrak {A}}}A=\{x:x{\text{ is in all }}A\in {\mathfrak {A}}\}\end{aligned}}$

對於一個集合族，如果我們從該族中選擇的任意兩個不同的集合都是不相交的，我們就說這個集合族是成對不相交的。