拓撲/歐幾里得空間

歐幾里得空間是大家最熟悉的空間。在歐幾里得 k 空間中，任意兩點之間的距離為

$d(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{k}{(x_{i}-y_{i})^{2}}}}$

其中 k 是歐幾里得空間的維數。由於歐幾里得 k 空間具有度量，因此它也是一個拓撲空間。

序列

定義：實數序列 $\{s_{n}\}$ 稱為收斂到實數 s，當且僅當對於每個 $\epsilon >0$ 存在一個數 $N$ 使得 $n>N$ 蘊涵 $\mid s_{n}-s\mid <\epsilon$.

定義：實數序列 $\{s_{n}\}$ 稱為柯西序列，當且僅當對於每個 $\epsilon >0$ 存在一個數 $N$ 使得 $m,n>N$ $\Rightarrow$ $\mid s_{n}-s_{m}\mid$ $<\epsilon$.

引理 1

收斂序列是柯西序列。

證明：假設 $lim\;s_{n}=s$.

那麼，

$\mid s_{n}-s_{m}\mid =\mid s_{n}-s+s-s_{m}\mid \leq \mid s_{n}-s\mid +\mid s-s_{m}\mid$

令 $\epsilon >0$。那麼 $\exists N$ 使得

$n>N\Rightarrow \mid s_{n}-s\mid <{\frac {\epsilon }{2}}$

同樣

$m>N\Rightarrow \mid s_{m}-s\mid <{\frac {\epsilon }{2}}$

所以

$m,n>N\Rightarrow \mid s_{n}-s_{m}\mid \leq \mid s_{n}-s\mid +\mid s-s_{m}\mid <{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon$

因此，$\{s_{n}\}$ 是一個柯西序列。

定理 1

收斂序列是有界的。

證明：令 $\{s_{n}\}$ 為收斂序列，並令 $lim\;s_{n}=s$。根據收斂定義，令 $\epsilon =1$，我們可以找到 N $\in \mathbb {N}$ 使得

$n>N\Rightarrow \mid s_{n}-s\mid <1$

根據三角不等式；

$n>N\Rightarrow \mid s_{n}\mid <\mid s\mid +1$

令 $M=max\{\mid s_{n}\mid +1,\mid s_{1}\mid ,\mid s_{2}\mid ,...,\mid s_{N}\mid \}$。

那麼，

$\mid s_{n}\mid \leq M$

對於所有 $n\in \mathbb {N}$。因此 $\{s_{n}\}$ 是一個有界數列。

定理 2

在完備空間中，一個數列是收斂數列當且僅當它是柯西數列。

證明

$\Rightarrow$ 收斂數列是柯西數列。見引理 1。

$\Leftarrow$ 考慮一個柯西數列 $\{s_{n}\}$。由於柯西數列是有界的，唯一要證明的是

$\liminf s_{n}=\limsup s_{n}$

設 $\epsilon >0$。由於 $\{s_{n}\}$ 是一個柯西數列，$\exists N$ 使得

$m,n>N\Rightarrow \mid s_{n}-s_{m}\mid <\epsilon$

因此，對於所有$m,n>N$，有$s_{n}<s_{m}+\epsilon$。這表明$s_{m}+\epsilon$ 是$\{s_{n}:n>N\}$ 的上界，因此對於所有$m>N$，有$v_{N}=\sup\{s_{n}:n>N\}\leq s_{m}+\epsilon$。同時，$v_{N}-\epsilon$ 是$\{s_{m}:m>N\}$ 的下界。因此，$v_{n}-\epsilon \leq \inf\{s_{m}:m>N\}=u_{N}$。現在

$\limsup s_{n}\leq v_{N}\leq u_{N}+\epsilon \leq \liminf s_{n}+\epsilon$

由於這對於所有$\epsilon >0$ 都成立，$\limsup s_{n}\leq \liminf s_{n}$。相反的不等式總是成立，因此我們證明了定理。

注意：以上證明假設影像空間是$\mathbb {R}$。如果沒有這個假設，我們需要更多的工具來證明它。

定義

影像空間可以有多個度量。通常情況下，最好以更通用的方式討論度量空間。度量空間$(S,d)$中的一個序列$\{s_{n}\}$ *收斂* 到 S 中的 s，如果$\lim _{n\rightarrow \infty }d(s_{n},s)=0$。如果對於每個$\epsilon >0$，存在一個$N$ 使得

$m,n>N\Rightarrow d(s_{m},s_{n})<\epsilon$

.

則該度量空間$(S,d)$被稱為*完備*，如果$S$中的每個柯西序列都收斂到$S$中的某個元素。

定理 3

令$X$為一個完備度量空間，而$Y$為$X$的子空間。那麼$Y$為一個完備度量空間當且僅當$Y$為$X$的閉子集。

證明：$\Leftarrow$ 假設$Y$為$X$的閉子集。令$\{s_{n}\}$為$Y$中的一個柯西序列。

然後 $\{s_{n}\}$ 也是 $X$ 中的柯西序列。由於 $X$ 是完備的，$\{s_{n}\}$ 收斂於 $X$ 中的點 $s$。然而，$Y$ 是 $X$ 的閉子集，所以 $Y$ 也是完備的。

$\Rightarrow$ 作為練習留給讀者。

練習

1. 令 $x,y\in \mathbb {R} ^{k}$。令 $d_{1}(x,y)=max\mid x_{i}-y_{i}\mid$，其中 $\{i=1,2,...,k\}$ 且 $d_{2}(x,y)=\sum _{i}^{k}\mid x_{i}-y_{i}\mid$。證明

a.) $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 是 $\mathbb {R} ^{k}$ 的度量。

b.) $d_{1}$ 和 $d_{2}$ 構成一個完備的度量空間。

2. 證明 $\mathbb {R}$ 中的每個開集都是有限或無限個開區間的互不相交併集。

3. 完成定理 3 的證明。

4. 考慮：令 $X$ 和 $Y$ 是度量空間。

a.) 一個對映 $T:X\rightarrow Y$ 被稱為 Lipschitz 對映，如果存在一個非負數 c，稱為該對映的 Lipschitz 常數，使得

$d[T(x),T(y)]\leq cd(x,y)\;\forall x,y\in X$

b.) 一個 Lipschitz 對映 $T:X\rightarrow Y$，其 Lipschitz 常數小於 1，被稱為 壓縮對映。

假設 $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 和 $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ 都是 Lipschitz 函式。它們的乘積是否為 Lipschitz 函式？