拓撲學/歷史

可以說，數學總體而言要歸功於古代希臘的歐幾里得。他最著名的著作《幾何原本》徹底改變了幾何學和數學的整體概念，透過展示一種簡單的邏輯方法。這種方法被萊昂納德·姆洛迪諾概括為

首先，透過形成精確的定義來明確術語，從而確保所有詞語和符號的相互理解。其次，透過陳述具體的公理或假設來明確概念，這樣就不會使用任何未陳述的理解或假設。最後，僅使用邏輯的公認規則，將邏輯推論應用於公理和先前證明的定理，得出系統的邏輯結果 .

縱觀其歷史，許多數學家都影響了拓撲學的發展。雖然約翰·本尼迪克特·李斯廷在拓撲學領域沒有做出令人難忘的發現，但他仍然被認為是該領域的奠基人之一。這是因為他為拓撲學起了名字。雖然他在拓撲學方面發表的文章很少，但他以《拓撲學前奏》而聞名，該文獻是第一個使用“拓撲學”（英文：topology）一詞來描述該領域的文獻。他也常被認為獨立於奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯發現莫比烏斯帶 .

拓撲學的起源可以追溯到十八世紀和哥尼斯堡七橋問題，這是一個關於相對位置而不考慮距離的問題 。雖然這個問題通常被認為是圖論的起源，但它也激發了尤拉對網路拓撲學的研究 。哥尼斯堡，現在的加里寧格勒，成立於 1255 年，成為一個繁榮的海港 。該城市坐落在普萊格爾河（現稱普雷戈爾亞河）的兩岸。市民可以使用七座橋橫跨普萊格爾河，但能否透過這座城市並使用每座橋恰好一次的問題將成為拓撲學數學領域的誕生的催化劑。瑞士數學家萊昂哈德·尤拉將是發現答案是否定的那個人。他確定，由橋樑位置定義的圖不是現在被稱為尤拉圖的東西 。這個名為《關於位置幾何的一個問題的解》的解決方案於 1735 年提交給聖彼得堡科學院 .

哥尼斯堡七橋問題。

莫比烏斯帶

尤拉也以其在多面體組合性質方面的研究而聞名。他考慮了邊 ($e$), 他稱之為acies，面 ($f$), 或hedra，以及頂點 ($v$), 稱為angulus solidus。尤拉認識到這三個性質的重要性，聲稱它們“完全決定了實體”。他的研究產生了著名的多面體公式：$v-e+f=2$。然而，尤拉公式僅適用於凸實體 。1813 年，安託萬-讓·呂利埃認識到該公式的這一侷限性，併為具有$g$個洞的實體提供了推廣：$v-e+f=2-2g$。這是第一個已知的拓撲不變數的結果 .

奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯是流形拓撲理論的主要貢獻者之一。1865 年，莫比烏斯發表了一篇文章，在文章中他將表面的幾種方向分解成多邊形網格。他最著名的例子是一個不可定向的表面，現在被稱為莫比烏斯帶 .

俄羅斯出生的數學家格奧爾格·費迪南德·路德維希·菲利普·康托爾，集合論之父，是我們要感謝的另一位數學家。集合論和基數的概念是拓撲學研究的基礎。如今，康托爾是一位真正備受尊崇的數學家，特別是考慮到集合論和無窮的概念似乎沒有數學思想的支柱，它們可以從這些支柱中發展起來。令人遺憾的是，這些想法並沒有受到 19 世紀世界的歡迎，康托爾一生中度過了許多年與公眾批評作鬥爭。一位名叫大衛·希爾伯特的德國數學家將康托爾在無窮域的發現描述為“數學思想的驚人產物” 。1877 年，康托爾證明了二維正方形上的點與不同線段上的點之間存在一一對應關係，這導致其他人開始質疑維度概念，從而導致了維度理論的發展 .

在 19 世紀後期和 20 世紀初期，許多數學家都向自己挑戰了更加抽象的問題。法國數學家莫里斯·勒內·弗雷歇在 1906 年幫助了這些數學家。他解釋說，如果可以在兩個不同的數學實體之間定義距離，那麼就可以應用實數和複數的概念 。弗雷歇與肖恩弗利斯、豪斯多夫等人一起成為最早研究“一般拓撲學”的人之一 。弗雷歇發展了度量空間理論，該理論基於康托爾的集合理論 .

德國數學家費利克斯·豪斯多夫在集合論方面繼承了康托爾的衣缽。事實上，豪斯多夫是最早教授集合論的人之一。1901 年夏天，他收了 3 個學生 。拓撲具有開放子集格的想法幾乎與拓撲本身的概念一樣古老，但豪斯多夫是第一個強調這些子集在定義拓撲概念中的重要性的人 .

法國數學家和物理學家亨利·龐加萊在很小的時候就發現了他的天賦。事實上，他還在上學的時候就獲得了全國數學競賽的第一名。龐加萊是第一個研究富克斯群的人，主要研究其底層的幾何和拓撲。龐加萊最著名的是《龐加萊猜想》，它陳述如下

一個緊緻的光滑的n維流形，如果與n維球面$S^{n}$同倫等價，那麼它實際上必須與$S^{n}$同胚。可以將一個緊緻流形看作是生活在$\mathbb {R} ^{n}$中某個有限區域內的流形，並且沒有邊界。

直到2003年，格里戈裡·佩雷爾曼才證明了這個猜想。