集合論

由華夏公益教科書的志願者和編輯編寫
華夏公益教科書，一個 維基媒體基金會 專案

集合論是研究集合的學科。本質上，集合是數學物件的集合。集合論構成了所有數學的基礎。

在 樸素集合論中，有一個公理被稱為 無限制理解模式公理。它指出存在一個集合 $x$，使得一階邏輯中的公式 $\phi (y)$ 對 $x$ 中的所有元素 $y$ 成立，即 $x=\{y\,|\,\phi (y)\}$.

1901 年，伯特蘭·羅素發現這是不一致的。這種不一致現在被稱為 羅素悖論。羅素聲稱，如果它是一致的，那麼 $R=\{x\,|\,x\notin x\}$ 是一個集合。這是矛盾的，因為 $R\in R$ 當且僅當 $R\notin R$。因此，這個理論被發現是不一致的。（有趣的事實：據報道，策梅洛在 1899 年發現了這種不一致，但沒有發表 。）

這促使策梅洛對集合論進行公理化。這也是我們應該學習它的原因。

這是一本本科生教材，但也將包含一些研究生水平的主題。但總的來說，任何具備基本數學素養的人都可以閱讀本書。

目錄

章節

引言

1. 集合論語言
2. 策梅洛-弗蘭克爾 (ZF) 公理
3. 關係
4. 構建數字
5. 排序
6. 佐恩引理和選擇公理
7. 序數
8. 基數

附錄

1. 樸素集合論
2. 集合

回顧

連結

• Zermelo-Fraenkel 集合論
• 可數性
• 集合系統

進一步閱讀

• 離散數學/集合論
• Krzysztof Ciesielski, Set Theory for the Working Mathematician (1997)
• P. R. Halmos, 樸素集合論 (1974)
• Karel Hrbacek, Thomas J. Jech, Introduction to set theory (1999)
• Thomas J. Jech, Set Theory 3rd Edition (2006)
• Kenneth Kunen, Set Theory: an introduction to independence proofs (1980)
• Judith Roitman, Introduction to Modern Set Theory (1990)
• John H. Conway, Richard Guy The Book of Numbers - 第 10 章
• Tobias Dantzig, Joseph Mazur Number: The Language of Science