首先，我們將標準單純形定義為標準基向量凸包。然後，我們將邊界對映取為 d n : ⟨ e 1 , … , e n ⟩ ↦ ∑ k = 1 n ⟨ e 1 , … , e k − 1 , e k + 1 , … , e n ⟩ {\displaystyle d_{n}:\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\rangle \mapsto \sum _{k=1}^{n}\langle e_{1},\ldots ,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_{n}\rangle }
接下來，我們將這種結構移植到拓撲空間 X 上：X 中的單純形是某個標準單純形的連續對映的像。
現在令 C n ( X ) = ⟨ σ : Δ n → X ⟩ {\displaystyle C_{n}(X)=\langle \sigma :\Delta _{n}\to X\rangle } 是 X 中單純形上的自由群。對映 d n {\displaystyle d_{n}} 現在在復形 C ∙ {\displaystyle C_{\bullet }} 上誘導了一個新的鏈對映。
現在使用上一節中同調的定義，我們定義 H n = ker d n / Im d n + 1 {\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/\operatorname {Im} d_{n+1}} （練習：證明這是定義良好的）。
是 X 中單純形上的自由群。對映 
現在在復形 
上誘導了一個新的鏈對映。
（練習：證明這是定義良好的）。
