拓撲/誘導同態

誘導同態與基本群的研究有關。我們將給出一些定理和註釋，但首先我們做一個定義。

定義

設 X 和 Y 是拓撲空間；設 x₀ 是 X 中的一個點，設 y₀ 是 Y 中的一個點。假設 h 是從 X 到 Y 的連續對映，使得 h(x₀) = y₀。定義一個從 π₁(X,x₀) 到 π₂(Y,y₀) 的對映 h*，方法是將 π₁(X,x₀) 中的迴圈與 h 合成以獲得 π₁(Y,y₀) 中的迴圈。那麼 h* 是基本群之間的同態，稱為由 h 誘導的同態。

注 1

讓我們檢查一下，如果 f 是 π₁(X,x₀) 中的迴圈，那麼 h*(f) 是 π₁(Y,y₀) 中的迴圈。注意 h*(f) 是從 [a,b] 到 Y 的連續對映（我們將假設 [a,b] = [0,1]，與一般情況沒有區別，因為這兩個集合是同胚的），並且 h*(f(0)) = h*(x₀) = y0 以及 h*(f(1)) = h*(x₀) = y₀。

注 2

我們將檢查 h 確實是同態。為了避免重複，每當我們稱 f 和 g 為迴圈時，它們將被認為是以 x₀ 為基點的迴圈。假設 f 和 g 是兩個迴圈。那麼 [0 是 π₁(X,x₀) 上的群運算，+ 是 π₁(Y,y₀) 上的群運算]

h*(f 0 g) = h*(f(2t)) 當 t 在 [0,1/2] 中 = (h*(f)) + (h*(g))

h*(f 0 g) = h*(g(2t-1)) 當 t 在 [1/2,1] 中 = (h*(f)) + (h*(g))

因此 h* 確實是同態。

注 3

檢查 h* 是函式（即 π₁(X,x₀) 中的每個迴圈都被對映到 π₁(Y,y₀) 中的唯一迴圈）源於這樣一個事實：如果 f 和 g 是 π₁(X,x0) 中的迴圈，透過同倫 H 同倫，那麼 h*(f) 和 h*(g) 透過同倫 h*H 同倫。

注 4

注意，除非 h 是連續的，否則上面所有註釋都不會成立，這就是為什麼它在假設中是必需的。我們留給您去弄清楚為什麼 h(x₀) = y₀ [這相當簡單]。

我們現在證明一個重要的定理，它可以用來檢查兩個拓撲空間是否同胚。事實上，這個定理說明了為什麼代數拓撲最初被髮明。

定理

假設 X 和 Y 是兩個同胚拓撲空間。如果 h 是從 X 到 Y 的同胚，那麼誘導同態 h* 是基本群之間的同構 [假設我們正在考慮基本群 π₁(X,x₀) 和 π₁(Y,y₀) 並且 h(x₀) = y₀]

證明

我們已經在注 2 中檢查過 h* 是同態。現在我們只需檢查 h* 是否雙射即可。假設 p 是 h 的逆；那麼 p* 是 h* 的逆。這是因為 (p(h))*(f) = p*(h*(f)) = f = (h(p))*(f) = h*(p*(f))。如果 f 和 g 是 X 中的兩個迴圈，其中 f 與 g 不同倫，那麼 h*(f) 與 h*(g) 不同倫；如果 F 是它們之間的同倫，那麼 p*(F) 將是 f 和 g 之間的同倫。如果 k 是 π₁(Y,y₀) 中的任何迴圈，那麼 h*(p*(k)) = k，其中 p*(k) 是 X 中的迴圈。這表明 h* 是雙射的。

注意：檢查我們是否使用了 h 滿足的所有屬性，這是一個很好的練習，即我們完全使用了這樣一個事實，即 h 是同胚。

定理的應用

1. 環面與 R^2 不同胚，因為它們的基本群不同構（它們的基本群沒有相同的基數）。注意，一個單連通空間不可能與一個非單連通空間同胚；一個具有平凡基本群，而另一個則沒有。

2. 事實上，任何兩個拓撲空間都具有同態的基本群（在特定基點處）。請參見注 2，我們可以在其中讓 h* 是由常數對映誘導的同態。但是，它們不一定具有同構的基本群（在特定基點處）。這一點很有趣，因為它表明任何兩個拓撲空間的基本群始終具有相同的“群結構”。

3. 單位圓的基本群同構於整數的加法群。因此，[0,1] 的基本群同構於整數集，因為 [0,1] 和單位圓同胚（為什麼這個說法是錯誤的？）。R 的單點緊化也具有同構於整數集的基本群（因為 R 的單點緊化同胚於單位圓）。

4. 定理的逆命題不一定成立。例如，R^2 和 R^3 具有同構的基本群，但仍然不同胚。它們的基本群是同構的，因為每個空間都是單連通的。但是，這兩個空間不可能是同胚的，因為從 R^2 中刪除一個點會留下一個非單連通空間，而從 R^3 中刪除一個點會留下一個單連通空間（如果我們刪除 R^3 中的一條直線，該空間將不再是單連通的。事實上，這可以推廣到 R^n，其中從 R^n 中刪除一個 (n-2) 維平行六面體會留下一個非單連通空間）。