拓撲/單純復形

單純復形是由稱為單純形的空間的並集，這些空間是點在一般位置上的凸包。 在歐幾里得空間中，它們可以被認為是三角形的推廣。 在前幾個維度中，它們是：點、線段、三角形和四面體。

單純形的定義

給定 n+1 個點 $\{a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}\}$，在一個至少 n 維的空間中，使得沒有三個點共線，該集合

${\mathcal {S}}=\{t_{0}a_{0}+t_{1}a_{1}+\dots +t_{n}a_{n}:\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1{\text{ with }}t_{i}\in [0,1]\}$

是一個單純形，更具體地說，它是一個 n-單純形，因為它有 n+1 個頂點。

標準 n-單純形

為了方便起見，我們有時需要一個標準化單純形的座標系。 標準 n-單純形，它是歐幾里得 (n+1)-空間 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 的一個子集，是

$\Delta _{n}=\{(t_{0},t_{1},\dots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}:t_{i}\geq 0{\text{ and }}\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1\}$

請注意，該集合以非常類似的方式表示，但座標在 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 中是固定的。

R³ 中標準 n-單純形 (n=2) 的圖

單純形的側面

n-單純形 ${\mathcal {S}}$ 的側面是由 ${\mathcal {S}}$ 的頂點的 n-1 元素子集形成的任何 (n-1)-單純形。

單純復形的定義

單純復形是單純形的並集，使得任何兩個單純形的交集都是單純形。 或者，如果 ${\mathcal {C}}$ 是一個單純復形，那麼

1. ${\mathcal {C}}$ 中每個單純形的任何一個面都是 ${\mathcal {C}}$ 中的一個單純形。

2. 兩個單純形 $A,B\in {\mathcal {C}}$ 的交集是 A 和 B 的一個公共面。

示例

平面上多邊形的三角剖分是一個單純復形。事實上，它暗示了對於所有多胞形都存在單純復形，例如，每個多面體都可以表示為四面體以完整面與完整面交匯的方式組合在一起。

練習

(正在建設中)