拓撲/Mayer-Vietoris 序列

Mayer-Vietoris 序列是同調理論中用於尋找可表示為更簡單空間並集的空間同調群的一個強大工具。

定義

如果 X 是一個拓撲空間，由兩個子空間 A 和 B 的內部覆蓋，那麼

${\begin{aligned}\cdots \rightarrow H_{n+1}(X)\,&{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X){\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\rightarrow \\&\quad \cdots \rightarrow H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\rightarrow \,0.\end{aligned}}$

是一個精確序列，其中 $i:A\cap B\hookrightarrow A,j:A\cap B\hookrightarrow B,l:A\hookrightarrow X,k:B\hookrightarrow X$. 對於簡化同調，序列結束，而不是

$\cdots \rightarrow {\tilde {H}}_{0}(A\cap B){\xrightarrow {(i_{*},j_{*}))}}{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\rightarrow \,0.$

例子

考慮圖中所示的由兩個 2-圓盤 A 和 B 形成的 $S^{2}$ 的覆蓋。

$S^{2}$ 由兩個 2-圓盤 A 和 B 覆蓋

空間 $A\cap B$ 同倫等價於圓。我們知道同倫保持同調群，因此 $H_{n}(A\cap B)\cong 0$ 對於 $n\neq 1$ 以及 $H_{1}(A\cap B)\cong \mathbb {Z}$。還要注意 A 和 B 的同調群是平凡的，因為它們都是可縮的。所以我們知道

$0\rightarrow {\tilde {H}}_{2}(S^{2})\xrightarrow {\partial _{*}} \mathbb {Z} \rightarrow 0$

這意味著 ${\tilde {H}}_{2}(S^{2})\cong \mathbb {Z}$，因為 $\partial _{*}$ 是一個同構，由精確性得出。

考慮由兩個開口圓柱體 A 和 B 覆蓋的環面。

我們如何選擇 A 和 B。

練習

(正在構建中)