拓撲/完美對映
這應該是一個具有挑戰性的部分，將測試讀者對之前內容的理解。.
完美對映是特定型別的對映，在點集拓撲中具有有用的應用。完美對映是一種保留“類似逆”性質的對映。就像連通空間的連續像總是連通的，如果某個空間 X 的完美像（在完美對映下的像）是連通的，則 X 必須是連通的。從這個意義上說，完美對映很好，因為它們比同胚弱，但足夠強以至於表現得像同胚。我們將在下一節給出正式定義。
令 X 和 Y 是拓撲空間，令 p 是從 X 到 Y 的一個連續、閉、滿射對映，並且對於每個 y ∈ Y，p^(-1){y} 相對於 X 是緊緻的。則 p 被稱為完美對映。
讀者可能希望注意到，f 是一個開對映當且僅當 f 的逆是連續的。
1. 如果 p: X->Y 是一個完美對映，並且如果 Y 是緊緻的，則 X 是緊緻的。
2. 如果 p: X->Y 是一個完美對映，並且如果 X 是正則的，則 Y 是正則的（注意：如果 p 僅僅是連續的，那麼如果 X 是正則的，Y 不一定需要是正則的。例如，如果 X 是一個正則空間，並且 Y 是一個在離散拓撲中的無限集）。
3. 如果 p: X->Y 是一個完美對映，並且如果 X 是區域性緊緻的，則 Y 是區域性緊緻的。
4. 如果 p: X->Y 是一個完美對映，並且如果 X 是第二可數的，則 Y 是第二可數的。
5. 每個單射完美對映都是一個同胚。這是因為雙射閉對映具有連續的逆。
6. 如果 p: X->Y 是一個完美對映，並且如果 Y 是連通的，則 X 不一定需要是連通的。例如，我們可以讓 X 是一個緊緻的非連通空間，Y 是一個單點拓撲空間，並且 p 是常值對映。
7. 完美對映不一定是開的，如下面的對映所示。
p(x) = x 如果 x ∈ [1,2]
p(x) = x-1 如果 x ∈ [3,4]
此對映是閉的、連續的（根據貼上引理）和滿射的，因此是完美對映（另一個條件顯然滿足）。但是，p 不是開的，因為 [1,2] 在 p 下的像是 [1,2]，它相對於 [1,3] （p 的值域）不是開的。注意，此對映是一個商對映，並且商運算將兩個區間粘合在一起。
8. 注意，為了保留區域性連通性、第二可數性、區域性緊緻性等屬性... 我們需要該對映不僅是連續的，而且還是開的。完美對映不一定是開的（參見前面的示例），但是這些屬性在完美對映下仍然得到保留。
9. 每個同胚都是一個完美對映。這是因為雙射開對映是閉的，並且由於同胚是單射的，所以值域中每個元素的逆在定義域中必須是有限的（實際上，逆必須正好有一個元素）。
1. a) 證明緊緻性在同胚下是保留的；也就是說，如果 Y 與 X 同胚，並且 X 是緊緻的，那麼 Y 也是緊緻的。
b) 證明屬性 1
2. a) 證明正則性在同胚下是保留的。
b) 證明屬性 2（提示：首先證明一個更弱的結果，即如果 Y 是豪斯多夫空間，那麼 X 也是豪斯多夫空間）。
3. a) 證明區域性緊緻性在同胚下是保留的。
b) 證明屬性 3
4. a) 證明第二可數性在同胚下是保留的。
b) 證明屬性 4
5. 確定以下定理是否有效。如果你認為該定理有效，請證明它。如果不是，請找到一個反例。
令 X 和 Y 是拓撲空間，令 p 是從 X 到 Y 的一個連續、閉、滿射對映，並且對於每個 y ∈ Y，p^(-1){y} 相對於 X 是連通的。如果 Y 是連通的，則 X 是連通的。
6. 在學習完下一節關於商空間的內容之後，證明以下定理。
令 q 是從 X 到 Y 的一個商對映，使得對於每個 y ∈ Y，q^(-1){y} 是連通的。如果 Y 是連通的，則 X 是連通的。