拓撲/精確序列

精確序列是代數拓撲中用來從鏈群序列中提取資訊的工具。

定義

給定一組群序列$G_{1},G_{2},\dots ,G_{n}$ 和同態

$G_{1}{\xrightarrow {h_{1}}}G_{2}{\xrightarrow {h_{2}}}\cdots {\xrightarrow {h_{n-1}}}G_{n}$

是一個精確序列，如果 $im(h_{k})=ker(h_{k+1})$ 對於所有 $1\leq k<n$，序列可以是無限的。

給定一個鏈群的精確序列，用這個索引

$\cdots {\xrightarrow {\partial _{2}}}C_{2}{\xrightarrow {\partial _{1}}}C_{1}{\xrightarrow {\partial _{0}}}C_{0}$

我們有一個鏈復形。

短精確序列

給定一個特殊情況，我們有 3 個群，有以下同態

$G_{1}{\xrightarrow {h_{1}}}G_{2}{\xrightarrow {h_{2}}}G_{3}$

其中 $h_{1}$ 是一個一對一同態，而 $h_{2}$ 是一個滿射同態，我們有一個短精確序列。短精確序列具有性質 $G_{3}\cong G_{2}/h_{1}(G_{1})$.

練習

(正在建設中)