拓撲/同倫

代數拓撲是拓撲學的一個分支，它使用代數方法來解決拓撲問題。 首先，讓我們回顧拓撲學的根本問題；給定拓撲空間 $X$ 和 $Y$，要確定它們是否同胚。 回想一下，兩個空間同胚當且僅當它們之間存在一個同胚，即一個開連續雙射。 因此，要得出兩個空間不同胚的結論，我們需要遍歷它們之間的每一個連續對映，並檢查它是否不是同胚！ 一般來說，這是不可能的。 因此我們需要方法來處理這個問題。 代數拓撲透過為拓撲空間分配所謂的代數不變數，在一定程度上取得了進展，使得同胚空間具有同構的不變數。 相反，這意味著如果兩個空間具有不同的代數不變數，那麼它們就不能是同胚的！ 檢查兩個代數結構是否同構，一般來說比原始的同胚問題容易得多，所以這是一個巨大的進步。

多年來，人們開發了許多不同的代數不變數。 每當人們設計或實現一個不變數時，重要的是在可計算性和完備性之間取得良好的平衡。 我們需要能夠計算不變數，並且它必須足夠“精細”以區分我們想要檢查的屬性。 可計算性和不可計算資訊之間存在一條細線！ 一個取得良好平衡的不變數是空間的同倫群，所以我們將從這裡開始。 同倫群是一個無限序列 $\pi _{0}(X),\pi _{1}(X),\pi _{2}(X),...$ 分配給空間 $X$ 的群。 在本章中，我們只關注前兩個群，即 $\pi _{0}(X)$ 和 $\pi _{1}(X)$，因為它們是最容易計算的。 我們過一會兒會回到序列的其餘部分。

路徑和環路

我們之前在路徑連通性和區域性路徑連通性的概念中已經接觸過路徑的概念。 在這裡，我們將再次回顧它們，然後定義一些新術語。

路徑

定義： 我們用 $I$ 表示單位區間 $[0,1]$，它配備了關於 $\mathbb {R}$ 的子空間拓撲。

定義：從$x$到$y$在空間$X$中的路徑是一個從$I$到$X$的連續函式，使得$f(0)=x$，並且使得$f(1)=y$。

迴圈

定義：令$X$是一個拓撲空間，並且$a\in X$。如果$\alpha$是a到a的路徑，那麼我們就說$\alpha$是具有基點$a$的迴圈。

定義

令X和Y是拓撲空間，並且令f(x)和g(x)是從X到Y的連續函式。f和g之間的同倫是一個從集合X×[0,1]到Y的連續函式h(x,r)，使得h(x,0)=f(x)，並且使得h(x,1)=g(x)。

直觀地說，我們可以將兩個函式之間的同倫看作是這兩個函式之間的一種連續對映。

我們可以很容易地驗證同倫是路徑和迴圈上的等價關係。

路徑同倫
當我們考慮透過固定起點和終點$x_{0}$和$x_{1}$的路徑的同倫時，我們定義兩條路徑是同倫的。附加條件是

• $h(0,t)=x_{0}$對於任何$t\in I$
• $h(1,t)=x_{1}$對於任何$t\in I$

迴圈同倫
迴圈同倫是所考慮的路徑是迴圈的特殊情況，這意味著它們具有相同的起點和終點。

注意：如果$X=\mathbb {R} ^{n}$，那麼所有具有基點$a$的迴圈都是同倫的。我們只需要取

$F(t,s)=(1-s)\alpha (t)+s\beta (t).$

同樣的論證也適用於任何凸集。

• 定理：路徑同倫是路徑的等價關係。

用 $[f]$ 表示路徑 $f$ 的路徑同倫等價類。

基本群胚

如果 $f$ 是從 $x_{0}$ 到 $x_{1}$ 的路徑，而 g 是從 $x_{1}$ 到 $x_{2}$ 的路徑，則定義 $f\star g$ 為從 $x_{0}$ 到 $x_{2}$ 的路徑，如下所示

$f\star g(t)={\begin{cases}f(2t){\text{ for }}t\in [0,{\frac {1}{2}}]\\g(2t-1){\text{ for }}t\in [{\frac {1}{2}},1]\end{cases}}$