拓撲/形變收縮

定義

收縮是一個到X的子空間A的連續函式

1. $r:X\to A$

使得存在嵌入

2. $\iota :A\hookrightarrow X$

滿足$r\circ \iota =id_{A}$.

這種結構的目的是縮小空間中一些拓撲無關的波動，或以其他方式簡化以幫助找到基本屬性。

形變收縮是一個更強的性質，其中存在一個同倫，它將恆等式變為收縮。

例如，有一個從開端圓柱體到圓的形變收縮，儘管它們不是同胚。一些拓撲性質在這種情況下得以保留，並且它們在代數拓撲中是有意義的。

示例

圓盤有一個到點的形變收縮，其中$r$將所有內容對映到該點，嵌入$\iota$僅修復該點。任何形變收縮到點的空間都稱為可縮的。

正如剛剛提到的，$S^{1}$是$[0,1]\times S^{1}$的形變收縮。請注意，這是一個單向語句，因為$[0,1]\times S^{1}\not \subset S^{1}$。更一般地，我們可以說我們可以“除掉”笛卡爾積中可縮的項。所以單位n-立方體總是可縮的。

練習

1. 明確地找到從單位n-立方體到點的形變收縮。

2. 儘管形變收縮不是自反的，但證明它們是傳遞的。