實分析
實分析的主題是研究函式、序列和集合在實數軸上的行為和性質，我們用數學上熟悉的 表示。我們希望透過實分析來考察的概念包括極限、連續性、導數（變化率）和積分（引數變數擴充套件上的變化量）等性質。這些想法中的許多都在更低層次的數學中（包括普通的一年級微積分課程）在概念上或實踐上得到了處理，因此，對於不熟悉此主題的讀者來說，實分析可能顯得毫無意義且微不足道。然而，實分析的深度、複雜性和美感，在於它在日常數學的表面之下，存在著一種保證正確性的東西，我們稱之為嚴謹性，它滲透到整個數學領域。因此，在某種程度上，實分析可以被視為一個嚴格的、經過充分驗證的框架的開發，用來支援我們經常認為理所當然的直觀想法。
實分析是一個非常直觀的學科，因為它只是對你在數學學習過程中遇到的數學思想進行幾乎線性的發展。然而，我們不會依賴有時不確定的直覺（當我們解決一個我們不理解的問題時，我們都曾有過這種感受），而是將其錨定在一個嚴格的數學定理集合中。在本書中，我們將開始看到，我們不需要直覺來理解數學——我們需要一個手冊。
本書的總體論點是如何用公理方法定義實數。那將如何運作？本書將以這種方式閱讀：我們列出我們認為定義實數的性質。然後，我們從這些性質——並且只有這些性質——證明實數的行為符合我們一直以來所想象的方式。然後，我們將重新審視我們一生中積累的所有基本定理和事實，使它們匯聚在一起，幾乎就像它們在分析之前就一直是真實的一樣；事實上，它一直都是嚴謹的——只是現在我們知道它是如何產生的。
不要認為當你完成了本書後，數學就結束了。在其他學術研究領域，我們可以看到一個奇怪的數學領域，它正越來越多地被帶到標準思維的前沿。在你理解了本書之後，數學將看起來好像是不完整的，缺少了一些你可能以前思考過的一些概念。在本書中，我們將提供比實數和實分析更深入的數學內容。畢竟，我們在這裡談論的數學似乎總是隻在一個數字、運算和比較的海洋中涉及一個變數。
注意：下文使用的數學符號表及其定義可在 附錄 中找到。
下面列出了從其他書籍中整理出來的一組精選章節。它們將有助於發展你的數學嚴謹性，這是你在本書以及高等數學中都需要的一種思維方式。
本書的這一部分正式化了我們在數學中使用的各種型別的數字，一直到實數。這部分重點關注不僅數字本身，而且算術運算和不等式比較器的公理性質（我們為了分析的目的而定義為真實的）。
本書的這一部分正式化了圖形、函式以及三角學的定義和用法。本節最奇怪的方面是它使用圖形作為某些性質（例如三角學）的證明方法。這些證明方法大多不受歡迎（因為在圖形證明中，準確性和缺乏嚴格的定義），但它們對於推匯出三角關係至關重要，因為三角函式的解析定義會使使用三角學過於困難——尤其是在早期描述它們的時候。
| 注意 | |
|---|---|
| 在 反函式章節 中描述的定理需要了解 導數。 |
以下章節將嚴格定義三角函式。只有在你對導數、積分和反函式有很好的理解之後，才能閱讀它們。
- 三角函式，定義
- 三角定理，定義
本書的這部分形式化了由算術、集合或邏輯關係約束的數列。這部分重點關注數學歸納法等概念，以及與自然數可列舉的集合以及整數的極限集合相關的性質。
本書的這部分形式化了數學中距離的概念，並介紹了度量空間分析。
本書的這部分形式化了數學中區間概念，並介紹了拓撲。
本書的這部分形式化了極限與連續性的概念，以及它們如何在初等數學和高等數學之間形成邏輯關係。這部分重點關注 epsilon-delta 定義、epsilon-delta 證明是如何運作的以及極限的含義。它還討論了其他主題，例如極限的特殊情況——連續性。
本書的這部分形式化了微分，以及它們如何用來描述函式的性質。這部分重點關注證明導數如何研究函式變化的性質，以及導數如何為函式提供性質。
| 注意 | |
|---|---|
| 黎曼積分或達布積分定義的構造都不需要 epsilon-delta 極限。 |
本書的這部分形式化了積分，以及想象面積的含義是如何產生許多不同形式的積分的。這部分重點關注證明導數如何研究函式變化的性質，以及導數如何為函式提供性質。
在這裡，你會發現一個未分類的章節列表。這裡列出的部分是高階主題，而其他部分是幫助你在數學之旅中前進的工具。由於這是華夏公益教科書的最後一個標題，因此必要的書籍結尾也位於此處。