實分析/連通集

直觀地，連通性的概念是一種描述集合是“整體一塊”還是由“分離的部分”組成的方法。為了定義的動機，$\mathbb {R}$中的任何區間都應該是連通的，但是由兩個不相交的閉區間$[a,b]$和$[c,d]$組成的集合$A$不應該連通。

定義 如果$\mathbb {R} ^{n}$中$A$中的一個集合不是兩個開集的不交併集的子集，並且這兩個開集都與它相交，則稱該集合是連通的。

另一種定義 如果存在一個連續的滿射函式$f:X\to \{0,1\}$，則稱集合$X$為不連通的，這樣的函式稱為斷開。如果不存在這樣的函式，則稱$X$是連通的。

示例 集合$[0,2]$不能被兩個開的不相交區間覆蓋；例如，開集$(-1,1)$和$(1,2)$沒有覆蓋$[0,2]$，因為點$x=1$不在它們的並集中。因此$[0,2]$是連通的。

然而，集合$\{0,2\}$ 可以被 $(-1,1)$ 和 $(1,3)$ 的並集覆蓋，因此 $\{0,2\}$ 不是連通的。

路徑連通

一個類似的概念是路徑連通性。

定義 如果任何兩點都可以用一條路徑連線而無需離開集合，則該集合稱為路徑連通的。

一個有用的例子是 $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$。任何兩點 a 和 b 都可以透過簡單地畫一條繞過原點而不是直接穿過原點的路徑來連線；因此，這個集合是路徑連通的。然而，$\mathbb {R} \setminus \{0\}$ 不是路徑連通的，因為對於 $a=-3$ 和 $b=3$，沒有路徑可以連線 a 和 b 而不穿過 $x=0$。

正如在這一點上應該很明顯的那樣，在實數線上，普通的連通性和路徑連通性是等價的；然而，這對於 $\mathbb {R} ^{n}$ 其中 $n>1$ 並不成立。當這種情況不成立時，路徑連通性意味著連通性；也就是說，每個路徑連通集都是連通的。

單連通

另一個與連通性相關的重要的主題是單連通集。這是一種比路徑連通性更強的條件。

定義 如果完全包含在 $A$ 中的任何環都可以收縮到一個點而不離開 $A$，則集合 $A$ 稱為單連通的。

簡單連通集的一個例子是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的任何開球。但是，之前的路徑連通集 $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ 不是簡單連通的，因為對於圍繞原點的任何環路 p，如果我們將 p 收縮到一個點，我們必須在 $(0,0)$ 處離開該集合。