實分析
實分析的主題是研究函式、序列和集合在實數軸上的行為和性質，我們將實數軸表示為數學上熟悉的。我們希望透過實分析來考察的概念包括極限、連續性、導數（變化率）和積分（引數變數擴充套件後的變化量）。這些概念中的許多在數學的較低層次（包括普通的一年級微積分課程）中得到了處理，因此，對於沒有接觸過這門學科的讀者來說，實分析似乎毫無意義，甚至微不足道。然而，實分析在深度、複雜性和美感方面都非常出色，因為它在日常數學的表面之下，存在著一種稱為嚴謹性的正確性保證，這種保證貫穿整個數學。因此，在某種程度上，實分析可以被看作是對一個嚴謹的、經過充分證明的框架的開發，以支援我們經常認為理所當然的直觀想法。
實分析是一門非常直觀的學科，因為它只是對你在數學學習中所遇到的數學概念的近乎線性的發展。然而，我們不會依賴於有時不確定的直覺（我們在解決一個我們不理解的問題時都體會過這種感覺），而是會把它建立在一個嚴謹的數學定理集合上。在這本書中，我們將開始看到，我們不需要直覺來理解數學——我們需要一個手冊。
本書的中心論點是如何用公理來定義實數。這將如何運作？這本書將以這種方式閱讀：我們設定了我們認為定義實數的性質。然後，我們僅從這些性質（僅僅從這些性質）證明實數以我們一直想象的方式表現。然後，我們將重新審視我們一生中積累的所有基本定理和事實，使它們匯聚在一起，幾乎就像它們在我們分析之前就一直是正確的；實際上它們一直都很嚴謹——只是現在我們知道了它們是如何形成的。
不要以為你學完這本書，數學就結束了。在其他學術研究領域，人們對一個奇怪的數學領域有所瞭解，這個領域正越來越多地被帶到標準思想的最前沿。在你理解了這本書之後，數學現在看起來似乎是不完整的，缺乏一些你可能之前想過的一些概念。在這本書中，我們將提供對數學的瞭解，不僅僅是實數和實分析。畢竟，我們在這裡討論的數學似乎總是隻涉及一個變數，在一個數字、運算和比較的海洋中。
注意：下文使用的數學符號及其定義的表格可在附錄中找到。
以下列出了一些從其他書籍中精選的章節。它們將有助於培養你數學嚴謹性，這對你閱讀這本書以及學習更高深的數學都是必不可少的思維模式。
本書的這一部分形式化了我們在數學中使用的各種型別的數字，一直到實數。這一部分側重於不僅數字本身，而且算術運算和不等式比較符的公理性質（我們為了分析而定義為真的內容）。
本書的這一部分形式化了圖形、函式以及三角學的定義和用法。本節最引人注目的是它使用圖形作為證明某些性質（如三角學）的方法。這些證明方法大多不受歡迎（由於圖形證明在準確性和缺乏嚴謹定義方面的不足），但它們對於推匯出三角關係是必不可少的，因為三角函式的解析定義將使使用三角學變得過於困難——特別是如果它們在早期就被描述。
| 注意 | |
|---|---|
| 關於反函式章節中描述的定理需要了解導數。 |
以下章節將嚴格定義三角函式。只有在你對導數、積分和反函式有了很好的理解之後才能閱讀它們。
- 三角函式，定義
- 三角定理，定義
本書的這一部分形式化了受算術、集合或邏輯關係約束的數字序列。這一部分側重於諸如數學歸納法以及與可列舉集合（以自然數作為列舉）以及整數極限集相關的性質。
本書的這一部分正式化了數學中距離的概念，並介紹了度量空間的分析。
本書的這一部分正式化了數學中區間概念，並介紹了拓撲學。
本書的這一部分正式化了極限和連續性的概念，以及它們如何在初等數學和高等數學之間建立邏輯關係。本部分重點介紹了 epsilon-delta 定義，epsilon-delta 推理的證明方式以及極限的意義。還討論了其他主題，如連續性，這是極限的特例。
本書的這一部分正式化了微分，以及它們如何用於描述函式的性質。本部分重點介紹瞭如何證明導數研究函式變化的性質，以及導數如何為函式提供屬性。
| 注意 | |
|---|---|
| 黎曼積分或達布積分的定義的構造都不需要 epsilon-delta 極限。 |
本書的這一部分正式化了積分，以及如何透過想象面積的含義來得到積分的不同形式。本部分重點介紹瞭如何證明導數研究函式變化的性質，以及導數如何為函式提供屬性。
在這裡，你會發現一個未分類的章節列表。其中一些是高度高階的主題，而另一些則是幫助你在數學旅程中前進的工具。由於這是華夏公益教科書的最後一個標題，必要的書結尾也位於此處。